Table of Contents
Như chúng ta đã được học về khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn cũng như định lí về tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau qua các chuyên đề trước. Qua đó, bài viết sau sẽ giới thiệu cho các bạn các tỉ số lượng giác trong tam giác vuông và các hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong một tam giác vuông, đồng thời tổng hợp các dạng toán thường gặp liên quan đến phần kiến thức của chuyên đề này, hãy tham khảo bài viết sau nhé!
1. Tỉ số lượng giác trong tam giác vuông
Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết cạnh huyền BC = a và hai cạnh góc vuông AC = b, AB = c.
Ta có các tỉ số lượng giác trong tam giác vuông ABC như sau:
- sin B = cos C =
; - sin C = cos B =
; - tan B = cot C =
; - tan C = cot B =
.
Ví dụ 1: Cho một cột đèn nữ hoàng có chiều cao là 5 mét và bóng của nó trên mặt đường có độ dài là 4 mét. Em hãy tìm số đo của góc tạo bởi tia sáng mặt trời với mặt đường (làm tròn đến phút).
Lời giải
Theo hình vẽ ở trên ta có: AC là chiều cao của cột đèn nữ hoàng và AB là độ dài bóng của nó trên mặt đường. Khi đó, AC = 5 (m) và AB = 4 (m).
Xét tam giác ABC vuông tại A ta có: tan B =
Suy ra số đo của góc tạo bởi tia sáng mặt trời với mặt đường là:
2. Các hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông
Dựa vào các tỉ số lượng giác trong tam giác vuông ở mục 1, ta có định lí sau:
Định lý: Trong một tam giác vuông bất kỳ, mỗi cạnh góc vuông của tam giác vuông đó bằng:
+ Cạnh góc vuông kia của tam giác vuông nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề;
+ Cạnh huyền của tam giác vuông nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề.
Cụ thể: Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết cạnh huyền BC = a và hai cạnh góc vuông AC = b, AB = c. Theo định lí trên, ta có các hệ thức sau đây:
- b = a . sin B = a . cos C;
- b = c . tan B = c . cot C;
- c = a . sin C = a . cos B;
- c = b . tan C = b . cot B.
3. Các dạng toán áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông
Dạng 1: Giải tam giác vuông
Bài toán giải tam giác vuông: Cho một tam giác vuông, nếu ta biết trước 2 cạnh hoặc 1 cạnh và 1 góc nhọn nào đó thì từ đó ta sẽ tìm được tất cả các góc và các cạnh còn lại của tam giác vuông đó.
∗ Phương pháp giải:
Dựa vào các hệ thức trong tam giác vuông và các tỉ số lượng giác trong tam giác vuông đã học ta thực hiện giải tam giác vuông.
Bài tập vận dụng:
Bài 1. Hãy hoàn thiện các câu dưới đây bằng cách ghi từ (hoặc cụm từ) còn thiếu vào chỗ trống:
a) Cạnh góc vuông này của một tam giác vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân với ___ góc đối;
b) Cạnh ___ của một tam giác vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với ___ góc kề;
c) Cạnh góc vuông này của một tam giác vuông bằng ___ nhân với côtang góc kề.
ĐÁP ÁN
a) Cạnh góc vuông này của một tam giác vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân với tan góc đối;
b) Cạnh góc vuông của một tam giác vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề;
c) Cạnh góc vuông này của một tam giác vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân với côtang góc kề.
Bài 2. Cho tam giác MNP vuông tại M. Biết NP = m, MP = n và MN = p. Hãy chọn khẳng định SAI về tỉ số lượng giác trong tam giác vuông MNP?
- sin N = cos P =
. - sin P = cos N =
. - tan N = cot P =
. - tan P = cot N =
.
ĐÁP ÁN
Ta có: tan N = cot P =
Chọn đáp án C.
Bài 3. Cho tam giác MNP vuông tại M. Biết MP = 7 và MN = 9. Em hãy giải tam giác vuông MNP.
ĐÁP ÁN
Xét tam giác MNP vuông tại M có:
NP2 = MN2 + MP2 = 72 + 92 = 130 (theo định lí Pitago),
hay NP =
Ta có: tan N =
Suy ra
Do đó
Dạng 2: Bài toán thực tế
∗ Phương pháp giải:
Dựa vào các hệ thức trong tam giác vuông và các tỉ số lượng giác trong tam giác vuông đã học ta thực hiện giải các bài toán thực tế.
Bài tập vận dụng:
Bài 4. Một chiếc xuồng ba lá chèo qua một con sông rộng 120 mét, khi chiếc xuồng chèo qua sông thì bị dòng nước đẩy đi xiên nên khi nó sang được đến bờ sông bên kia thì phải chèo khoảng 130 mét. Em hãy tìm số đo của góc lệch do dòng nước đã đẩy chiếc xuồng ba lá (làm tròn đến phút).
ĐÁP ÁN
Theo hình vẽ ở trên ta có: AC là chiều rộng của con sông và BC là quãng đường chiếc xuồng chèo qua sông khi bị dòng nước đẩy đi xiên. Khi đó, AC = 120 (m) và BC = 130 (m).
Xét tam giác ABC vuông tại A ta có: cos C =
Suy ra số đo của góc lệch do dòng nước đã đẩy chiếc xuồng ba lá là:
Bài 5. Cho một cột ăng – ten. Biết bóng của nó trên mặt đường có độ dài là 10 mét và số đo của góc tạo bởi tia sáng mặt trời với mặt đường là 60o. Em hãy tìm chiều cao của cột ăng – ten đó.
ĐÁP ÁN
Theo hình vẽ ở trên ta có: MP là độ dài bóng của cột ăng – ten trên mặt đường và góc P là góc tạo bởi tia sáng mặt trời với mặt đường. Khi đó, MP = 10 (m) và
Xét tam giác ABC vuông tại A ta có: MN = MP . tan P = 10 . tan 60o = 17,32 (m).
Vậy cột ăng – ten có chiều cao khoảng 17,32 mét.
Bài 6. Cho một cột cờ có chiều cao là 10 mét và bóng của nó trên mặt đường có độ dài là 4 mét. Em hãy tìm số đo của góc tạo bởi tia sáng mặt trời với cột cờ đó (làm tròn đến phút).
ĐÁP ÁN
Theo hình vẽ ở trên ta có: AC là chiều cao của cột cờ và AB là độ dài bóng của nó trên mặt đường. Khi đó, AC = 10 (m) và AB = 4 (m).
Xét tam giác ABC vuông tại A ta có: tan C =
Suy ra số đo của góc tạo bởi tia sáng mặt trời với cột cờ là:
Kết luận, bài viết đã trình bày cho các bạn các tỉ số lượng giác trong tam giác vuông, đồng thời tổng hợp các dạng toán thường gặp liên quan đến phần kiến thức của chuyên đề này, mong rằng các bạn sẽ nắm rõ kiến thức để áp dụng giải các bài tập một cách hiệu quả.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang