Bài 3: Liên Hệ Giữa Dây Và Khoảng Cách Từ Tâm Đến Dây

1. Bài toán

Cho AB và CD là hai dây ( khác đường kính) của (O;R). Gọi OH, OK theo thứ tự là các khoảng cách từ O đến AB, CD. Chứng minh

(Chứng minh sgk trang 104)

2. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Ví dụ 1: Hãy sử dụng kết quả của bài toán ở mục 1 để chứng minh rằng

a) Nếu AB = CD thì OH = OK

b) Nếu OH = OK thì AB = CD

Giải

a) Nếu AB = CD thì OH = OK

Xét (O) ta có OH AB tại H

⇒ H là trung điểm của dây AB

⇒

Xét (O) ta có OK CD tại K

⇒ K là trung điểm của dây CD

⇒

Mà và AB = CD

Nên HA = HB = KC = KD

Mặt khác Ta có :  

⇒ OH = OK

b) Nếu OH = OK thì AB = CD

Ta có:

Mà OH = OK

Nên HB = KD

Mặt khác và (chứng minh câu a)

⇒ AB = CD

Từ chứng minh trên ta rút ra định lí sau:

Định lí 1: Trong một đường tròn:

a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm

b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau

Ví dụ 2: Hãy sử dụng kết quả của bài toán ở mục 1 để so sánh các độ dài:

a) OH và OK, niếu biết AB > CD

b) AB và CD nếu biết OH < OK

Giải

a) OH và OK, niếu biết AB > CD

Nếu AB > CD => HB > KD =>

Mà

Nên

b) AB và CD nếu biết OH < OK

Nếu OH < OK =>

Mà

Nên

Từ chứng minh trên ta rút ra định lí sau: 

Định lí 2: Trong hai dây của một đường tròn:

a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn

b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC, O là giao điểm của các đường trung trực của tam giác, D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, AC. Cho biết OD > OE, OE = OF ( Hình 69). Hãy so sánh các độ dài:

a) BC và AC

b) AB và AC

Giải

a) Vì O là giao điểm của các đường trung trực của tam giác ABC

⇒ OA = OB = OC

⇒ O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Xét (O), ta có:

OE là khoảng cách từ O đến dây BC ( OE BC)

OF là khoảng cách từ O đến dây AC ( OF AC)

OE = OF

⇒ BC = AC

b) Xét (O), ta có:

OD là khoảng cách từ O đến dây AB ( OD AB)

OF là khoảng cách từ O đến dây AC ( OF AC)

OD > OF ( Vì OD > OE mà OF = OE)

⇒ AB < AC

Biên soạn: GV. Lưu Thị Cẩm Đoàn

Trung Tâm Đức Trí - 0286 6540419