Phần thưởng một triệu đô la vô cùng hấp dẫn sẽ dành cho ai giải được bất kì bài nào trong số 7 bài toán thiên niên kỷ nổi tiếng do Viện toán học Clay đặt ra. Nó đã làm cho các nhà toán học phải đau đầu cho đến hiện nay.
Giả thuyết Poincaré
Giả thuyết Poincaré là một trong những giả thuyết toán học nổi tiếng và quan trọng bậc nhất do Jules-Henri Poincaré đưa ra năm 1904, và được Grigori Perelman chứng minh vào năm 2002, 2003. Trong 100 năm tồn tại, nó trực tiếp và gián tiếp đem về 4 huy chương Fields cho Smale (1966), Thurston (1982), Freedman (1986) và Perelman (2006).”
Nội dung giả thuyết: chứng minh là trong không gian 3 chiều, mọi bề mặt liên thông đơn giản hữu hạn và không có biên đều là bề mặt của một vật hình cầu.
Ví dụ chứng minh:
Lấy một quả bóng (hoặc một vật hình cầu), vẽ trên đó một đường cong khép kín không có điểm cắt nhau, sau đó cắt quả bóng theo đường vừa vẽ: bạn sẽ nhận được hai mảnh bóng vỡ. Làm lại như vậy với một cái phao (hay một vật hình xuyến): lần này bạn không được hai mảnh phao vỡ mà chỉ được có một.
Giả thuyết Poincaré do ông Jules-Henri Poincaré đưa ra (Nguồn: Internet)
Vấn đề P chống lại NP
Nhà toán học Canada Stephen Cook đã sử dụng ngôn ngữ lôgic của tin học, ông định nghĩa một cách chính xác tập hợp những vấn đề mà người ta thẩm tra kết quả dễ hơn (gọi là tập hợp P), và tập hợp những vấn đề mà người ta dễ tìm ra hơn (gọi là tập hợp NP). Liệu hai tập hợp này có trùng nhau không? Các nhà logic học khẳng định P # NP.
Ví dụ: việc tìm ra một số mà 13717421 chia hết là rất khó, nhưng lại dễ thực hiện phép tính 3607 x 3808 = 13717421. Đó chính là nền tảng của phần lớn các loại mật mã: rất khó giải mã, nhưng lại dễ kiểm tra mã có đúng không. Nhưng điều này chưa ai kiểm chứng được cả.
Nếu P=NP thì sao? Có nghĩa là giả thuyết ở trên là sai. Và Stephen Cook đưa ra nhận định cho trường hợp này như sau: "Một mặt, điều này sẽ giải quyết được rất nhiều vấn đề tin học ứng dụng trong công nghiệp; nhưng mặt khác lại sẽ phá hủy sự bảo mật của toàn bộ các giao dịch tài chính thực hiện qua Internet”. Các ngân hàng sẽ chịu hậu quả lớn nhất nếu P=NP.
Các phương trình của Yang-Mills
Các nhà toán học luôn chậm chân hơn các nhà vật lý. Nếu như từ lâu, các nhà vật lý đã sử dụng các phương trình của Yang-Mills trong các máy gia tốc hạt trên toàn thế giới, thì các ông bạn toán học của họ vẫn không thể xác định chính xác số nghiệm của các phương trình này.
Phương trình của Yang-Mills ra đời vào những năm 50, tác giả là 2 nhà Vật lý học người Mỹ Chen Nin Yang và Robert Mills. Các phương trình này đã biểu diễn mối quan hệ mật thiết giữa vật lý về hạt cơ bản với hình học của các không gian sợi. Nó cũng cho thấy sự thống nhất của hình học với phần trung tâm của thể giới lượng tử, gồm tương tác tác yếu, mạnh và tương tác điện từ. Nhưng hiện nay, mới chỉ có các nhà vật lý sử dụng chúng…
Giả thuyết Hodge
Giả thuyết Hodge là một giả thuyết của William Hodge. Giả thuyết này phát biểu rằng trong một số dạng không gian, các thành phần của tính đồng đẳng sẽ tìm lại bản chất Hình học của chúng.Đó là n Giả thuyết Hodge là một vấn đề lớn của Hình học Đại số và có liên quan đến Topo Đại số. Trong thế kỷ XX, các đường thẳng và đường tròn trong Hình học Euclide đã bị thay thế bởi các khái niệm Đại số, khái quát và hiệu quả hơn trong Hình học hiện đại.
Khoa học của các hình khối và không gian đang dần dần đi tới hình học của “tính đồng đẳng”. Đã có những tiến bộ đáng kinh ngạc trong việc phân loại các thực thể Toán học, nhưng việc mở rộng các khái niệm đã dẫn đến hậu quả là bản chất Hình học dần dần biến mất trong Toán học.
Giả thuyết Riemann
Trong toán học, giả thuyết Riemann, nêu bởi Bernhard Riemann (Riemann (1859)), là một phỏng đoán về các không điểm phi tầm thường của hàm zeta Riemann tất cả đều có phần thực bằng 1/2. Tên gọi này đôi khi cũng có nghĩa tương tự cho một số giả thuyết khác như giả thuyết Riemann cho các đường cong trên trường hữu hạn.
Giả thuyết Riemann hàm ý kết quả về sự phân bố các số nguyên tố. Cùng với những dạng tổng quát hóa phù hợp, các nhà toán học coi nó là một trong những bài toán quan trọng nhất chưa được giải trong toán học thuần túy Bombieri 2000.
Giả thuyết Riemann (Nguồn: Internet)
Giả thuyết của Birch và Swinnerton-Dyer
Những số nguyên nào là nghiệm của phương trình x2 + y2 = z2 ? có những nghiệm hiển nhiên, như mathop 32 + 42 = 52 . Đây là phương trình vô số nghiệm, nó được chứng minh bởi Euclide cách đây 2300 năm.
Người ta cũng biết từ 30 năm nay rằng không có phương pháp chung nào cho phép tìm ra số các nghiệm nguyên của các phương trình dạng này. Tuy nhiên, đối với nhóm phương trình quan trọng nhất có đồ thị là các đường cong elip loại 1, các nhà toán học người Anh Bryan Birch và Peter Swinnerton-Dyer từ đầu những năm 60 đã đưa ra giả thuyết là số nghiệm của phương trình phụ thuộc vào một hàm số f: nếu hàm số f triệt tiêu tại giá trị bằng 1 (nghĩa là nếu f(1)= 0), phương trình có vô số nghiệm. nếu không, số nghiệm là hữu hạn
Các phương trình của Navier-Stokes
Phương trình Navier-Stokes, được đặt tên theo Claude-Louis Navier và George Gabriel Stokes, miêu tả dòng chảy của các chất lỏng và khí (gọi chung là chất lưu). Những phương trình này thiết lập trên cơ sở biến thiên động lượng trong những thể tích vô cùng nhỏ của chất lưu đơn thuần chỉ là tổng của các lực nhớt tiêu tán (tương tự như ma sát), biến đổi áp suất, trọng lực, và các lực khác tác động lên chất lưu - một ứng dụng của định luật 2 của Newton.” (Nguồn: Wikipedia)
Trên đây là những kiến thức mới mẻ về 7 bài toán thiên niên ký. Hy vọng sẽ giúp ích cho công việc nghiên cứu của bạn.
