Tính chất chia hết của một tổng là gì? Một số dạng bài tập cực hay

Tính chất chia hết của một tổng là gì? Có những dạng bài tập nào về tính chất chia hết của một tổng? Chúng ta sẽ cùng nhau đi tìm hiểu về qua bài viết này nhé.

1. Nhắc lại về quan hệ chia hết

• Một số tự nhiên a được gọi là chia hết cho số tự nhiên b (với số b ≠ 0) khi và chỉ khi tồn tại một số tự nhiên n nào đó để:

a = b.n

+ Kí hiệu a chia hết cho b là:  a ⋮ b

Ví dụ: 20 chia hết cho 4, ta kí hiệu là: 20 ⋮ 4

• Một số tự nhiên a được gọi là không chia hết cho số tự nhiên b (với số b ≠ 0) khi không tồn tại một số tự nhiên n nào đó để:

a = b.n

+ Kí hiệu a không chia hết cho b là 

Ví dụ: 15 không chia hết cho 2, kí hiệu là:

• Nếu m ⋮ n và n ⋮ q thì m ⋮ q

Ví dụ: 20 ⋮ 10 và 10 ⋮ 5 thì 20 ⋮ 5

2. Tính chất chia hết của một tổng

2.1. Tính chất 1

Xét với một số tự nhiên x, với x ≠ 0

Nếu tất cả các số hạng trong cùng một tổng đều chia hết cho x thì tổng đó chia hết cho x. Nghĩa là: 

a ⋮ x, b ⋮ x, c ⋮ x => (a + b + c) ⋮ x

Ví dụ: 85 ⋮ 5, 15 ⋮ 5, 35 ⋮ 5 => (85 + 15 + 35) ⋮ 5

Nếu với số a > b, a và b đều chia hết cho x thì hiệu a - b cũng chia hết cho x. Nghĩa là: 

a ⋮ x, b ⋮ x => (a - b) ⋮ x

Ví dụ: 30 ⋮ 2, 16 ⋮  2 => (30 – 16) ⋮ 2

Nếu với số a < b, a và b đều chia hết cho x thì hiệu b - a cũng chia hết cho x. Nghĩa là: 

a ⋮ x b ⋮ x => (b - a) ⋮ x

Ví dụ: 15 ⋮ 3, 27 ⋮  3 => (27 - 15) ⋮ 3

2.2. Tính chất 2

Xét với số tự nhiên m, với m ≠ 0

Nếu trong một tổng có một số hạng nào đó không chia hết cho m, còn các số hạng khác đều chia hết cho m thì tổng đó sẽ không chia hết cho m. Nghĩa là: 

Ví dụ:

Nếu với số a > b, a chia hết cho m và b không chia hết cho m thì hiệu a - b cũng không chia hết cho m:

Ví dụ:

Lưu ý: 

• Một tổng chia hết cho một số nhưng các số hạng của tổng đó có thể không cần phải chia hết cho số đó.
• Đối với trường hợp tổng hoặc hiệu hai hay nhiều số hạng thì các tính chất trên vẫn đúng.

3. Mở rộng của tính chất chia hết của một tổng

• Nếu a ⋮ q ⇒ n . a ⋮ q (n là số tự nhiên q ≠ 0).

Ví dụ: 16 ⋮ 4 => 2.16 ⋮ 4

• Nếu trong một tích chỉ có một thừa số của tích chia hết cho một số nào đó thì tích đó cũng chia hết cho số đó.

Ví dụ: 13.15 chỉ có 15 ⋮ 5 nhưng tích 13.15 ⋮ 5

4. Các dạng bài tập tính chất chia hết của một tổng và phương pháp giải

4.1. Dạng 1: Xét tính chia hết của một tổng hoặc một hiệu

Phương pháp:

Áp dụng các tính chất về sự chia hết của một tổng, một hiệu.

Ví dụ 1:  Tổng 36 + 72 có chia hết cho 9 không?

Ta có 36 ⋮ 9 và 72 ⋮ 9 nên tổng (36 + 72) ⋮ 9.

Ví dụ 2: Tổng 53 + 36 có chia hết cho 3 không? 

Ta có: nên tổng

Bài tập luyện tập

Xét sự chia hết của tổng hoặc hiệu sau đây:

Bài 1:

1. A = 65 + 91 + 156 có chia hết cho 13 không?
2. B = 32 + 104 + 168 có chia hết cho 8 không?
3. C = 69 + 138 có chia hết cho 23 không?

Bài 2:

1. A = 42 + 90 + 126 có chia hết cho 14 không?
2. B = 89 + 189 có chia hết cho 21 không?
3. C = 99 + 100 có chia hết cho 11 không?

Bài 3:

1. A = 126 – 84 có chia hết cho 7 không?
2. B = 361 – 285 có chia hết cho 19 không?
3. C = 324 – 240 có chia hết cho 27 không?

Bài 4:

1.Số 510 có chia hết cho 17 không?

2. Số 1280 có chia hết cho 16 không? 

4.2. Dạng 2:  Tìm điều kiện của một số hạng để tổng hoặc hiệu chia hết cho một số nào đó

Phương pháp:

 Áp dụng các tính chất chia hết của một tổng và yêu cầu đề bài để giải bài toán.

Ví dụ: Với điều kiện nào của a thì tổng M = 8 + 24 + 12 + a chia hết cho 4

Ta có 8 ⋮ 4, 24 ⋮ 4, 12 ⋮ 4 nên để tổng M ⋮ 4 thì a ⋮  4.

Bài tập luyện tập:

Tìm điều kiện của các số tự nhiên để thỏa mãn:

Bài 1:

1. A = 36 + 54 + 99 + a chia hết cho 9
2. B = 176 + 132 + 286 + b chia hết cho 22
3. C = 33 + 44 + 55 + c chia hết cho 11

Bài 2: 

1. A = 84 + 21 + n chia hết cho 3
2. B = 196 + 126 + n chia hết cho 14
3. C = 102 +272 + n chia hết cho 17

Trên đây là toàn bộ lí thuyết về tính chất chia hết của một tổng và các dạng bài tập liên quan. Các bạn học sinh có thể tham khảo bài viết để học tốt hơn phần kiến thức này.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang