Khái niệm về lũy thừa với số mũ tự nhiên và các dạng toán phổ biến

Ở chương trình Toán lớp 6 các em sẽ được làm quen với khái niệm hoàn toàn mới đó là lũy thừa với số mũ tự nhiên. Vậy thế nào là lũy thừa với số mũ tự nhiên? Và cách tính như thế nào? Bài viết này VOH Giáo Dục sẽ giúp các em tìm hiểu khái niệm về lũy thừa với số mũ tự nhiên và các dạng toán liên quan.

I. Thế nào là lũy thừa với số mũ tự nhiên?

1. Khái niệm về số mũ

Lũy thừa bậc n của a, kí hiệu aⁿ là tích của n thừa số a:

Số a được gọi là cơ số.

Số n được gọi là số mũ.

Nói cách khác phép nâng lũy thừa chính là phép nhân nhiều thừa số bằng nhau.

Quy ước: a¹ = a

2. Cách đọc số mũ

aⁿ đọc là “a mũ n” hoặc “a lũy thừa n” hoặc “lũy thừa bậc n của a”.

Đặc biệt, a² còn cách gọi khác là “a bình phương” hay “bình phương của a”.

a³ còn được gọi là “a lập phương” hay “lập phương của a”.

3. Ví dụ về số mũ tự nhiên

Ví dụ 1. Viết các phép tính sau dưới dạng một lũy thừa, sau đó đọc các lũy thừa và nêu cơ số, số mũ của chúng:

a) 2.2.2

b) 7.7.7.7.7

c) 25.25.25.25

Giải:

a) 2.2.2 = 2³

2³ đọc là “hai mũ ba” hoặc “hai lũy thừa ba” hoặc “lũy thừa bậc ba của hai”. Ngoài ra còn đọc là “hai lập phương” hoặc “lập phương của hai”.

Cơ số là 2.

Số mũ là 3.

b) 7.7.7.7.7 = 7⁵

7⁵ đọc là “bảy mũ năm” hoặc “bảy lũy thừa năm” hoặc “lũy thừa bậc năm của bảy”.

Cơ số là 7.

Số mũ là 5.

c) 25.25.25.25 = 25⁴

25⁴ đọc là “hai mươi lăm mũ bốn” hoặc “hai mươi lăm lũy thừa bốn” hoặc “lũy thừa bậc bốn của hai mươi lăm”.

Cơ số là 25.

Số mũ là 4.

 II. Các phép tính về lũy thừa với số mũ tự nhiên

1. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số

Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ:

Ví dụ 2. Viết kết quả mỗi phép tính sau dưới dạng một lũy thừa:

a) 4².4

b) 15⁵.15²

c) 8 . 2

d) 25 . 4 . 10

Giải:

a) 4².4 = 4²⁺¹ = 4³

b) 15⁵.15² = 15⁵⁺² = 15⁷

c) 8 . 2 = 2³ . 2 = 2³⁺¹ = 2⁴

d) 25 . 4 . 10 = 100 . 10 = 10².10 =10²⁺¹ = 10³

2. Chia hai lũy thừa cùng cơ số

Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số (khác 0), ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ:

Quy ước: a⁰ = 1 (a ≠ 0).

Ví dụ 3. Viết kết quả mỗi phép tính sau dưới dạng lũy thừa:

a) 4⁶ : 4³

b) 15⁹ : 15⁷

Giải:

a) 4⁶ : 4³ = 4^6-3 = 4³

b) 15⁹ : 15⁷ = 15^{9 – 7}=15²

III. Các dạng toán về lũy thừa với số mũ tự nhiên

1. Dạng 1: Viết gọn biểu thức đã cho dưới dạng luỹ thừa

Phương pháp giải: Để viết gọn biểu thức dưới dạng lũy thừa của một số tự nhiên ta sử dụng các công thức sau:

(1) 

(2) a^m.aⁿ = a^m+n

(3) a^m.aⁿ = a^m+n

Bài 1. Viết các tích đã cho dưới dạng lũy thừa của một số tự nhiên:

a) 5.5.5

b) 5.5.25

c) 3.3.3.3.9

d) x.x.x.x.x.x

Bài 2. Viết kết quả mỗi phép tính sau dưới dạng một lũy thừa:

a) 2⁸.2³

b) 9.27

c) 6⁸:36

2. Dạng 2: Viết một số về dạng bình phương hoặc lập phương của một số

Phương pháp giải:

Để viết một số dưới dạng bình phương ta viết số đó thành tích của hai thừa số giống nhau sau đó đưa về dạng lũy thừa bậc hai.

Để viết một số dưới dạng lập phương ta viết số đó thành tích của ba thừa số giống nhau sau đó đưa về dạng lũy thừa bậc ba.

Lưu ý: Các số viết được dưới dạng bình phương của một số tự nhiên được gọi là số chính phương.

Ví dụ. Các số 0; 1; 4; 9; 16; … được gọi là số chính phương vì: 

0 = 0²;  1 =1¹;  4 = 2²; 9=3²; 16= 4².

Bài 1. Viết mỗi số sau thành bình phương của một số tự nhiên: 64; 81; 100; 121.

Bài 2. Viết mỗi số sau thành lập phương của một số tự nhiên: 27; 64; 125; 216.

3. Dạng 3: Tính giá trị biểu thức chứa luỹ thừa

Phương pháp giải: Để tính giá trị biểu thức chứa lũy thừa ta sử dụng các công thức nhân hai lũy thừa cùng cơ số, chia hai lũy thừa cùng cơ số để rút gọn biểu thức sau đó thực hiện tính toán.

Bài 1. Tính các lũy thừa sau và rút ra nhận xét về kết quả của các lũy thừa đó.

a) 10²

b) 10⁵

c) 10⁶

Bài 2. Tính giá trị các biểu thức sau:

a) A = 2².2³-3²-10

b) B = 5.4²+3².5.2

c) C = 3.(5²-4²)

4. Dạng 4: So sánh hai biểu thức chứa luỹ thừa

Phương pháp giải: Để so sánh hai luỹ thừa, ta có thể làm theo các cách sau:

Cách 1. Đưa về hai luỹ thừa có cùng cơ số rồi so sánh hai số mũ:

Nếu a > 1; m,n ∈ N*, m > n thì a^m > aⁿ .

Cách 2. Đưa về hai luỹ thừa có cùng số mũ, rồi so sánh hai cơ số:

Nếu a,b ∈ N; m ∈ N*, a > b thì a^m > b^m

Cách 3. Tính giá trị của hai luỹ thừa rồi so sánh kết quả.

Cách 4. Sử dụng tính chất bắc cầu:

Nếu  a, b, c ∈ N; a < b và b < c thì a < c .

Bài tập. Điền dấu >; <; = thích hợp vào ô trống:

a) 7⁷...... 7⁵

b) 12¹²..... 11¹²

c) 10².10 ..... 10³

d) 2³..... 3²

5. Dạng 5: Viết một số tự nhiên dưới dạng tổng các lũy thừa của 10

Phương pháp giải:

Ở chương trình Toán Tiểu học, ta đã biết một số có thể được viết dưới dạng tổng theo từng hàng (hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm, ...)

Ví dụ: 3252 = 3.1000 + 2. 100 + 5.10 + 2.1

Ở dạng này ta sẽ thay các số 1, 10, 100, 1000, ... bằng các lũy thừa của 10.

Ví dụ: 3252 = 3. 10³ + 2.10²+ 5.10¹ +2 .10⁰

Bài tập. Viết các số: 523; 4325;  ,  dưới dạng tổng các luỹ thừa của 10.

6. Dạng 6: Tìm cơ số hoặc số mũ của một luỹ thừa trong một đẳng thức

Phương pháp giải:

Bước 1. Đưa về hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ.

Bước 2. Sử dụng tính chất:

Nếu a^m=aⁿ thì m= n (a∈ N*,a≠1; m,n ∈ N),

Nếu a^m=bⁿ thì a = b (a, b, n ∈ N*).

Bài tập. Tìm x, biết:

a) 2^x=4

b) x³ = 125

c) 3^x . 3² = 81

d) 4^x+2 : a²=16

Phép tính lũy thừa với một số tự nhiên là một kiến thức quan trọng. Hy vọng bài viết này sẽ giúp các em nắm rõ hơn về các phép tính lũy thừa với số mũ tự nhiên. Qua đó, các em sẽ vận dụng để hoàn thành các bài tập trên lớp và ở nhà.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang