Tập hợp số thực là gì? Định nghĩa, kí hiệu & các dạng bài tập liên quan

Trong các chuyên đề trước, ta đã được tìm hiểu chi tiết về các tập hợp số như tập hợp số tự nhiên, tập hợp số nguyên, tập hợp số hữu tỉ. Bài viết sau đây sẽ trình bày cụ thể cho các em kiến thức về tập hợp số thực cùng với mối liên hệ giữa tập hợp số thực với các tập hợp số. Đồng thời bài viết sẽ giới thiệu chi tiết cho các em các tập hợp con thường dùng của tập hợp số thực, hãy theo dõi nhé!

1. Tập hợp số thực là gì?

Số hữu tỉ được biểu diễn dưới dạng một phân số , với m, n thuộc tập hợp số nguyên và n khác 0. Số hữu tỉ cũng có thể được biểu diễn dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Số vô tỉ là các số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

*Tập hợp số thực kí hiệu là gì?

Tập hợp các số thực được kí hiệu là , là tập hợp gồm các số hữu tỉ và các số vô tỉ.

Chú ý:

• Mỗi số thực được biểu diễn bằng một điểm trên trục số:

• Mối quan hệ bao hàm giữa tập hợp số thực và các tập hợp số đã học là:  .

Ví dụ 1. Em hãy cho biết, tập hợp Y = {– 3 ; 0 ; ; ; 5} có phải là tập con của tập hợp số thực hay không?

Lời giải

Ta có, các số – 3 ; 0 ; ; 5 thuộc tập hợp Y là các số hữu tỉ và số thuộc tập hợp Y là một số vô tỉ.

Do tập hợp số thực là tập hợp gồm các số hữu tỉ và các số vô tỉ.

Khi đó, mọi phần tử của tập hợp Y chính là phần tử của tập hợp số thực .

Suy ra, tập hợp Y có là tập con của tập hợp số thực   .

2. Các tập hợp con thường dùng của tập hợp số thực

2.1. Khoảng

2.2. Đoạn

2.3. Nửa khoảng

Chú ý:

+ Ký hiệu đọc là dương vô cùng và đọc là âm vô cùng.

+ Ta có thể viết tập hợp số thực và gọi là khoảng .

+ Với tất cả số thực x ta có thể viết .

3. Các phép toán giữa các tập con thường dùng của tập hợp số thực

3.1. Phép giao

Muốn tìm giao của hai tập hợp M và N ta thực hiện như sau:

• Bước 1: Biểu diễn các điểm ở đầu mút của hai tập hợp M và N trên trục số theo thứ tự tăng dần

• Bước 2: Biểu diễn hai tập hợp M và N bằng cách dùng các kí hiệu (, ), [, ], tương ứng với các kí hiệu khoảng, đoạn và nửa khoảng của hai tập hợp M và N trên trục số

• Bước 3: Gạch bỏ các phần không thuộc hai tập hợp M và N. Phần chưa bị gạch đi là giao của hai tập hợp M và N.

Ví dụ 2. Hãy xác định và biểu diễn tập hợp (– 5 ; 4) [1 ; 6] trên trục số.

Lời giải

Vậy: (– 5 ; 4) [1 ; 6] = [1 ; 4).

3.2. Phép hợp

Muốn tìm hợp của hai tập hợp M và N ta thực hiện như sau:

• Bước 1: Biểu diễn các điểm ở đầu mút của hai tập hợp M và N trên trục số theo thứ tự tăng dần

• Bước 2: Biểu diễn hai tập hợp M và N bằng cách dùng các kí hiệu (, ), [, ], tương ứng với các kí hiệu khoảng, đoạn và nửa khoảng của hai tập hợp M và N trên trục số

• Bước 3: Trên trục số, ta tô đậm hai tập hợp M và N. Phần ta vừa tô đậm đó là hợp của hai tập hợp M và N.

Ví dụ 3. Hãy xác định và biểu diễn tập hợp (– 7 ; 5] [0 ; 6] trên trục số.

Lời giải

Vậy: (– 7 ; 5] [0 ; 6] = (– 7 ; 6].

3.3. Phép hiệu

Muốn tìm hiệu M\N ta thực hiện như sau:

• Bước 1: Biểu diễn các điểm ở đầu mút của hai tập hợp M và N trên trục số theo thứ tự tăng dần

• Bước 2: Biểu diễn tập hợp M và gạch các phần không phải là tập hợp M trên trục số

• Bước 3: Biểu diễn tập hợp N và gạch phần là tập hợp N trên trục số. Phần chưa bị gạch đi là hiệu M\N.

Ví dụ 4. Hãy xác định và biểu diễn tập hợp [– 11 ; 10) \ (– 2 ; 7] trên trục số.

Lời giải

Vậy: [– 11 ; 10) \ (– 2 ; 7] = [– 11 ; – 2] (7 ; 10).

4. Bài tập ứng dụng về tập hợp số thực

Bài 1. Hãy chọn ra phát biểu sai về tập hợp số thực:

1. Tập hợp số thực chứa tập hợp số nguyên.
2. Tập hợp số thực bao gồm các số thập phân hữu hạn, các số thập phân vô hạn tuần hoàn và các số vô hạn không tuần hoàn.
3. Tập hợp số thực bao gồm các số thập phân hữu hạn và các số vô tỉ.
4. Tập hợp số hữu tỉ chứa trong tập hợp số thực.

Bài 2. Em hãy xét tính đúng, sai mỗi mệnh đề được cho dưới đây:

a) ;

b) ;

c) .

Bài 3. Cho x thuộc tập hợp số thực  sao cho x lớn hơn hoặc bằng 2 và nhỏ hơn 11. Khi đó:

1. x thuộc khoảng (2 ; 11).
2. x thuộc đoạn [2 ; 11].
3. x thuộc nửa khoảng (2 ; 11].
4. x thuộc nửa khoảng [2 ; 11).

Bài 4. Cho các tập hợp S = { | – 6 < x < 0} và T = { | – 12 < x 6}. Em hãy dùng các ký hiệu: khoảng, đoạn và nửa khoảng để viết lại các tập hợp đã cho.

1. S = (– 6 ; 0) và T = (– 12 ; 6].
2. S = [– 6 ; 0] và T = (– 12 ; 6].
3. S = (– 6 ; 0) và T = [– 12 ; 6].
4. S = (– 6 ; 0) và T = [– 12 ; 6).

Bài 5. Hãy xác định và biểu diễn tập hợp trên trục số.

Bài viết trên đã giới thiệu cho các em khái niệm và các tính chất về tập hợp số thực cùng các tập hợp con thường dùng của tập hợp số thực. Qua bài viết này, mong các em nắm rõ kiến thức và ứng dụng chúng để giải các dạng bài tập về chuyên đề này.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang