Table of Contents
Chúng ta đã được học về bài toán tìm x, hay tìm số hạng chưa biết, và đó cũng chính là bài toán cách tìm nghiệm của đa thức một biến bậc 1. Và lên lớp 7 thì chúng ta sẽ được học mở rộng hơn về bài toán này, đó là tìm nghiệm của đa thức một biến. Vậy cách tìm nghiệm của đa thức một biến là gì? Làm thế nào để có thể giải các bài tập toán về chủ đề này nhanh hơn, chính xác hơn?... Và để trả lời cho câu hỏi này thì chúng ta cùng nhau tìm hiểu qua bài viết sau đây nhé.
1. Tóm tắt nghiệm của đa thức một biến
Nếu tại u = a, đa thức Q(u) có giá trị bằng 0 thì ta nói a (hoặc u = a) là một nghiệm của đa thức đó.
Ví dụ: Ta có đa thức Q(u) = u2 - 4
Khi đó u = 2 là một nghiệm của Q(u) vì u = 2 thỏa mãn: Q(u) = 22 - 4 = 0
2. Cách tìm nghiệm của đa thức một biến
Để tìm nghiệm của đa thức một biến Q(u), ta làm như sau:
- Bước 1: Cho Q(u) = 0
- Bước 2: Tìm tất cả các giá trị của biến u sao cho Q(u) = 0
Khi đó, tất cả các giá trị của biến u tìm được chính là nghiệm của Q(u)
Ví dụ: Tìm nghiệm của đa thức Q(u) = 2u - 6
Ta có: Q(u) = 0 ⇔ 2u - 6 = 0 ⇔ u = 3
Vậy u = 3 là nghiệm của Q(u) = 2u - 6
*Chú ý:
- Một đa thức (khác đa thức không) có thể không có nghiệm (vô nghiệm); có thể có một nghiệm, hai nghiệm,....
- Số nghiệm của đa thức một biến (khác đa thức không) không vượt quá bậc của đa thức đó, nhiều nhất là bằng bậc của đa thức.
3. Các dạng bài tập cơ bản về cách tìm nghiệm của đa thức một biến
3.1. Kiểm tra một giá trị có phải là nghiệm của đa thức một biến hay không.
*Phương pháp giải:
Để biết một giá trị x nào đó có phải là nghiệm của đa thức một biến không thì ta chỉ cần thay giá trị đó vào đa thức một biến:
- Nếu thay x vào mà đa thức có giá trị bằng 0 thì x là nghiệm của đa thức một biến
- Nếu thay x vào mà đa thức có giá trị khác 0 thì x không phải là nghiệm của đa thức một biến
Ví dụ: t = 4 và t = 5 có phải là nghiệm của đa thức Q(t) = 2t - 8 không?
Giải:
Ta thay t = 4 vào Q(t), ta được: Q(t) = 2.4 - 8 = 8 - 8 = 0
Suy ra t = 4 là nghiệm của Q(t)
Thay t = 5 vào Q(t), ta được: Q(t) = 2.5 - 8 = 10 - 8 = 2 ≠ 0
Suy ra t = 5 không phải là nghiệm của Q(t)
3.2. Tìm nghiệm của đa thức một biến
*Phương pháp giải:
Áp dụng phương pháp tìm nghiệm của đa thức một biến.
Ví dụ: Tìm nghiệm của các đa thức sau:
a. 3u - 6
b. 2u3 - 16
Giải:
a. Ta có: 3u - 6 = 0 ⇔ u = 2
Vậy u = 2 là nghiệm của đa thức 3u - 6
b. Ta có: 2u3 - 16 = 0 ⇔ 2u3 = 16 ⇔ u3 = 8 ⇔ u = 2
Vậy u = 2 là nghiệm của đa thức 2u3 - 16
3.3. Tìm đa thức một biến khi biết nghiệm của đa thức đó
*Phương pháp giải:
Giả sử u1; u2; ... ; un là nghiệm của đa thức Q(u)
Khi đó đa thức Q(u) được xác định là: Q(u) = (u - u1)(u - u2) ... (u - un)
Ví dụ: Tìm đa thức T(z) biết T(z) có hai nghiệm là z = 3 và z = -2
Giải:
Vì T(z) có hai nghiệm là z = 3 và z = -2 nên ta có:
T(z) = (z - 3)(z + 2)
⇒ T(z) = z2 + 2z - 3z - 6
⇒ T(z) = z2 - z - 6
Vậy đa thức cần tìm là: T(z) = z2 - z - 6
3.4. Các bài toán có kiến thức tổng hợp
*Phương pháp giải:
Vận dụng tất cả các kiến thức đã học để phân tích, suy luận tìm ra phương pháp giải chính xác và phù hợp nhất.
4. Một số bài tập áp dụng về cách tìm nghiệm của đa thức một biến lớp 7
Bài 1: Tìm nghiệm của các đa thức một biến sau:
a. 3y + 7
b. -3y2 + y + 2
c. (y2 + 4)(4y + 8)
d. 15y3 + 11y2 + 2y
ĐÁP ÁN
a. Ta có:
3y + 7 = 0 ⇔ y =
Vậy nghiệm của đa thức 3y + 7 là y =
b. Ta có:
-3y2 + y + 2 = 0
⇔ -3y2 + 3y - 2y + 2 = 0
⇔ -3y(y - 1) - 2(y - 1) = 0
⇔ (y - 1)(-3y - 2) = 0
⇔ y - 1 = 0 hoặc -3y - 2 = 0
TH1: y - 1 = 0 ⇔ y = 1
TH2: -3y - 2 = 0 ⇔ y =
Vậy đa thức -3y2 + y + 2 có hai nghiệm y = 1 và y =
c. Ta có:
(y2 + 4)(4y + 8) = 0
⇔ y2 + 4 = 0 hoặc 4y + 8 = 0
TH1: y2 + 4 = 0 ⇔ y2 = -4. Vì y2 ≥ 0 nên không có giá trị nào của y để y2 = -4
TH2: 4y + 8 = 0 ⇔ y = - 2
Vậy đa thức (y2 + 4)(4y + 8) có một nghiệm y = - 2
d. Ta có:
15y3 + 11y2 + 2y = 0
⇔ 15y3 + 5y2 + 6y2 + 2y = 0
⇔ 5y2(3y + 1) + 2y(3y + 1) = 0
⇔ (3y + 1)(5y2 + 2y) = 0
⇔ (3y + 1)(5y + 2)y = 0
⇔ 3y + 1 = 0 hoặc 5y + 2 = 0 hoặc y = 0
TH1: 3y + 1 = 0 ⇔ y =
TH2: 5y + 2 = 0 ⇔ y =
TH3: y = 0
Vậy đa thức 15y3 + 11y2 + 2y có 3 nghiệm: y =
Bài 2: Cho đa thức W(t) = 3t3 + 2t2 -12t - 8
a. Trong các giá trị của t sau đây, giá trị nào là nghiệm của W(t): t = -2; t = 3;
b. Tìm nghiệm của W(t)
ĐÁP ÁN
a. Ta thay t = -2 vào đa thức W(t), ta được:
W(t) = 3t3 + 2t2 -12t - 8 = 3.(-2)3 + 2.(-2)2 -12.(-2) - 8 = 0 (thỏa mãn)
Vậy t = -2 là nghiệm của W(t)
Tương tự, ta thay t = 3 vào W(t), ta được:
W(t) = 3t3 + 2t2 -12t - 8 = 3.33 + 2.32 -12.3 - 8 = 55 ≠ 0 (không thỏa mãn)
Vậy t = 3 không phải là nghiệm của đa thức W(t)
b. Ta có:
3t3 + 2t2 -12t - 8 = 0
⇔ (3t3 -12t) + (2t2 - 8) = 0
⇔ 3t(t2 -4) + 2(t2 - 4) = 0
⇔ (t2 - 4)(3t + 2) = 0
⇔ t2 - 4 = 0 hoặc 3t + 2 = 0
TH1: t2 - 4 = 0 ⇔ t2 = 4 ⇔ t = 2 hoặc t = -2
TH2: 3t + 2 = 0 ⇔ t =
Vậy đa thức W(t) = 3t3 + 2t2 -12t - 8 có ba nghiệm: t = 2; t = -2; t =
Bài 3:
a. Tìm đa thức D(t) biết đa thức D(t) có 2 nghiệm là t = -2 và t =
b. Cho đa thức Q(t) = 4t2 - 8t3 + t - 3. Chứng minh rằng t = -2 không phải là nghiệm của Q(t)?
ĐÁP ÁN
a. Vì đa thức D(t) có 2 nghiệm là t = -2 và t =
(t + 2)(t -
⇔ t2 -
⇔ t2 +
Vậy đa thức D(t) cần tìm là: D(t) = t2 +
b. Để chứng minh t = -2 không phải là nghiệm của Q(t), ta thay t = -2 vào Q(t), ta được:
Q(t) = 4t2 - 8t3 + t - 3 = 4.(-2)2 - 8.(-2)3 + (-2) - 3 = 75 ≠ 0
Suy ra, t = -2 không thỏa mãn Q(t) = 0
Vậy t = -2 không phải là nghiệm của Q(t)
Trên đây là toàn bộ cách tìm nghiệm của đa thức một biến cùng với các dạng bài tập cơ bản có phương pháp giải và ví dụ cụ thể. Bên cạnh đó bài viết đưa ra được một số bài tập vận dụng kèm lời giải chi tiết để cho các bạn học sinh có thể hình dung rõ hơn các kiến thức liên quan đến chủ đề này.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang