Table of Contents
Chúng ta đã được học về phương pháp tìm nghiệm của đa thức. Vậy một đa thức như thế nào thì không có nghiệm? Và phương pháp để chứng minh một đa thức không có nghiệm là gì? Để giải đáp thắc mắc này thì chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết sau đây nhé.
I. Phương pháp chứng minh đa thức không có nghiệm
1. Đa thức một biến
- Đa thức một biến là tổng của những đơn thức có cùng một biến.
Ví dụ: 2x3 - 8x + 4x2 là tổng của 3 đơn thức 2x3; - 8x; 4x2 có cùng biến x nên 2x3 - 8x + 4x2 là một đa thức một biến
- Nghiệm của đa thức một biến là giá trị của biến mà khi thay giá trị đó vào đa thức thì ta sẽ được giá trị của đa thức đó bằng 0.
Ví dụ: x = 2 là nghiệm của đa thức 3x2 -12 vì khi thay x = 2 vào 3x2 -12 ta được : 3.22 -12 = 0.
2. Phương pháp chứng minh đa thức một biến không có nghiệm
Để chứng minh một đa thức không có nghiệm ta chỉ cần chứng minh đa thức đó khác 0 với mọi giá trị của biến.
Ví dụ: Chứng minh đa thức Q(t) = t1 + 1 không có nghiệm
Giải:
Ta thấy t2 ≥ 0 với mọi t
⇒ t1 + 1 ≥ 1
⇒ t1 + 1 > 0 với mọi t.
Suy ra không có giá trị nào của t để Q(t) = 0
Vậy đa thức Q(t) = t1 + 1 không có nghiệm
II. Các dạng bài tập về chứng minh đa thức không có nghiệm
1. Chứng minh một giá trị nào đó không phải là nghiệm của đa thức một biến
*Phương pháp giải: Để chứng minh một giá trị nào đó không phải là nghiệm của đa thức mốt biến, ta làm như sau:
- Ta thay giá trị đó vào đa thức một biến và tính ra kết quả
- Nếu kết quả khác 0 thì giá trị đó không phải là nghiệm của đa thức một biến.
Từ đó suy ra điều cần chứng minh.
- Nếu kết quả bằng 0 thì đó là nghiệm của đa thức một biến.
Ví dụ: Chứng minh u = 4 không phải là nghiệm của đa thức T(u) = 2u2 - 7u + 1
Giải:
Ta thay u = 4 vào đa thức T(u), ta được: 2.(4)2 - 7.4 + 1 = 5 ≠ 0
Suy ra, u = 4 không phải là nghiệm của đa thức
2. Chứng minh đa thức không có nghiệm với mọi giá trị của biến
*Phương pháp: Để chứng minh một đa thức không có nghiệm, ta chứng minh đa thức đó luôn khác 0 với mọi giá trị của biến.
Ví dụ: Chứng minh đa thức 4x4 + 2x2 + 1 không có nghiệm.
Giải:
Ta thấy:
x4 ≥ 0 với mọi x. Suy ra, 4x4 ≥ 0 với mọi x
x2 ≥ 0 với mọi x. Suy ra, 2x2 ≥ 0 với mọi x
Suy ra: 4x4 + 2x2 ≥ 0 với mọi x
⇒ 4x4 + 2x2 + 1 ≥ 1 với mọi x
⇒ 4x4 + 2x2 + 1 > 0 với mọi x
Suy ra: 4x4 + 2x2 + 1 ≠ 0 với mọi x
Vậy đa thức 4x4 + 2x2 + 1 không có nghiệm.
3. Chứng minh tổng hoặc hiệu của hai đa thức không có nghiệm
*Phương pháp giải: Để chứng minh tổng hoặc hiệu của hai đa thức không có nghiệm, ta làm như sau:
- Bước 1: Ta tính tổng hoặc hiệu của hai đa thức đó
- Bước 2: Chứng minh kết quả vừa tìm được ở bước 1 luôn khác 0 với mọi giá trị của biến
Từ đó ta suy ra điều cần chứng minh.
Ví dụ: Cho hai đa thức Q(z) = -5z4 - z2 - 8 và T(z) = -4z2 + 1
Hãy chứng minh tổng của hai đa thức trên không có nghiệm
Giải:
Ta có: Q(z) + T(z) = -5z4 - z2 - 8 - 4z2 + 1 = -5z4 - 5z2 - 7
Ta thấy:
z4 ≥ 0 với mọi z ⇒ -5z4 ≤ 0 với mọi z
z2 ≥ 0 với mọi z ⇒ -5z2 ≤ 0 với mọi z
⇒ 5z4 - 5z2 ≤ 0
⇒ 5z4 - 5z2 - 7 ≤ -7
⇒ 5z4 - 5z2 - 7 < 0 với mọi z
Suy ra, Q(z) + T(z) = 5z4 - 5z2 - 7 ≠ 0 với mọi z
Vậy tổng của hai đa thức Q(z) và T(z) không có nghiệm
III. Một số bài tập vận dụng về chứng minh đa thức không có nghiệm
Bài 1: Chứng minh các đa thức sau không có nghiệm
a. s4 + 1
b. -s6 - 2s2 - 20
c.
d. -2022s8 - 2021s2 - 2020s4 - 2019
ĐÁP ÁN
a. Ta thấy: s4 ≥ 0 ⇒ s4 + 1 ≥ 1 > 0
Suy ra: s4 + 1 ≠ 0 với mọi s
Vậy đa thức s4 + 1 không có nghiệm
b. Ta có: -s6 - 2s2 - 20 = -s2(s4 + 2) - 20
Ta thấy:
s2 ≥ 0 với mọi s ⇒ -s2 ≤ 0
s4 ≥ 0 với mọi s ⇒ s4 + 2 ≥ 2 > 0
⇒ -s2(s4 + 2) ≤ 0
⇒ -s2(s4 + 2) - 20 ≤ -20 < 0
⇒ -s6 - 2s2 - 20 < 0 với mọi s
Suy ra: Đa thức -s6 - 2s2 - 20 luôn khác 0 với mọi s
Vậy đa thức -s6 - 2s2 - 20 không có nghiệm
c. Vì
⇒
Suy ra đa thức
Vậy đa thức
d.
Vì s8 ≥ 0 với mọi s ⇒ -2022s8 ≤ 0
s2 ≥ 0 với mọi s ⇒ -2021s2 ≤ 0
s4 ≥ 0 với mọi s ⇒ -2020s4 ≤ 0
⇒ -2022s8 - 2021s2 - 2020s4 ≤ 0
⇒ -2022s8 - 2021s2 - 2020s4 - 2019 ≤ -2019 < 0
Suy ra: Đa thức -2022s8 - 2021s2 - 2020s4 - 2019 luôn khác 0 với mọi giá trị s
Vậy đa thức -2022s8 - 2021s2 - 2020s4 - 2019 không có nghiệm
Bài 2: Cho hai đa thức sau: F(y) = 7y4 - 5y3 + 8y2 - 2 và D(y) = -5y3 + 5y4 - 10
a. Chứng minh y = -1 là nghiệm của D(y) nhưng không phải là nghiệm của F(y).
b. Gọi Q(y) = F(y) - D(y). Chứng minh rằng Q(y) không có nghiệm
ĐÁP ÁN
a. Ta thay y = -1 vào đa thức D(y) ta được:
D(y) = -5y3 + 5y4 - 10 = -5.(-1)3 + 5.(-1)4 - 10 = 0
Vậy y = -1 là nghiệm của đa thức D(y)
Ta thay y = -1 vào đa thức F(y), ta được:
F(y) = 7y4 - 5y3 + 8y2 - 2 = 7(-1)4 - 5(-1)3 + 8(-1)2 - 2 = 18 ≠ 0
Vậy y = -1 không phải là nghiệm của F(y)
b. Ta có:
Q(y) = F(y) - D(y)
= 7y4 - 5y3 + 8y2 - 2 + 5y3 - 5y4 + 10
= 7y4 + (-5y3 + 5y3) + 8y2 + (-2 + 10)
= 7y4 + 8y2 + 8
Vậy Q(y) = 7y4 + 8y2 + 8
Vì :
y4 ≥ 0 với mọi y ⇒ 7y4 ≥ 0
y2 ≥ 0 với mọi y ⇒ 8y2 ≥ 0
⇒ 7y4 + 8y2 ≥ 0 với mọi y
⇒ 7y4 + 8y2 + 8 ≥ 8 > 0
Suy ra: đa thức Q(y) luôn khác 0 với mọi y
Vậy đa thức Q(y) không có nghiệm.
Nội dung bài học chứng minh đa thức không có nghiệm đã được chúng tôi tổng hợp chi tiết kiến thức cần nhớ, ngoài ra còn bổ sung các dạng bài tập cùng với phương pháp giải và ví dụ minh họa từng dạng toán cụ thể. Hy vọng bài viết sẽ giúp cho các bạn học sinh có cái nhìn tổng quát về chương trình học đa thức. Chúc các bạn làm việc học tập hiệu quả!
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang