Cách tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức chi tiết nhất

Bài toán đi tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số là một dạng bài tập nâng cao trong chương trình Toán 7. Vậy cách tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số như thế nào? Bài viết dưới đây sẽ nêu ra một số dạng toán thường gặp của bài toán đi tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức và phương pháp giải chi tiết của từng dạng, cùng với một số bài tập kèm lời giải giúp các em biết cách vận dụng lý thuyết vào giải bài tập.

1. Nhắc lại khái niệm về biểu thức đại số

Trong toán học ta thường gặp những biểu thức mà trong đó ngoài các số, các kí hiệu phép toán cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa, còn có cả các chữ (đại diện cho các số, gọi là biến số). Ta gọi những biểu thức như vậy là các biểu thức đại số.

Trong biểu thức đại số có thể có các dấu ngoặc để chỉ thứ tự thực hiện các phép tính hoặc có thể có dấu giá trị tuyệt đối.

2. Cách tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2.1. Dạng 1: Biểu thức chứa lũy thừa bậc chẵn

*Phương pháp giải:

Cho biểu thức M và n là số thực bất kì, khi đó ta có:

+ . Dấu “=” xảy ra khi M = 0. Khi đó GTNN của M² là 0 khi M = 0.

+ . Dấu “=” xảy ra khi M = 0. Khi đó GTNN của M² + n là n khi M = 0.

+ . Dấu “=” xảy ra khi M = 0. Khi đó GTNN của M² – n là – n khi M = 0.

Ví dụ 1: Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức dưới đây:

a) A = (x – 2)² ;

b) B = (3x – 6)² + 7;

c) C = (2x + 8)² – 11.

Lời giải

a) A = (x – 2)².

Ta có A = (x – 2)² 0 với mọi x thuộc tập số thực R.

Dấu “=” xảy ra khi x – 2 = 0 hay x = 2.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 0 khi x = 2.

b) B = (3x – 6)² + 7.

Ta có (3x – 6)² 0 với mọi x thuộc tập số thực R.

Suy ra B = (3x – 6)² + 7 7 với mọi x thuộc tập số thực R.

Dấu “=” xảy ra khi 3x – 6 = 0 hay x = 2.

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 7 khi x = 2.

c) C = (2x + 8)² – 11.

Ta có (2x + 8)² 0 với mọi x thuộc tập số thực R.

Suy ra C = (2x + 8)² – 11  – 11 với mọi x thuộc tập số thực R.

Dấu “=” xảy ra khi 2x + 8 = 0 hay x = – 4.

Vậy giá trị nhỏ nhất của C là - 11 khi x = – 4.

2.2. Dạng 2: Biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

*Phương pháp giải:

Cho x, y và a là số thực bất kì, khi đó ta có:

•  |x| 0;
•  |x| + a a; |x| -  a - a;
•  |x| + |y| |x + y|.

Ví dụ 2. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức dưới đây:

a) A = |x – 13| + 4;

b) B = |x + 8| + |2 – x|.

Lời giải

a) A = |x – 13| + 4.

Ta có |x – 13| 0 với mọi x thuộc tập số thực R.

Suy ra A = |x – 13| + 4 4 với mọi x thuộc tập số thực R.

Dấu “=” xảy ra khi x – 13 = 0 hay x = 13.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 4 khi x = 13.

b) B = |x + 8| + |2 – x|.

Do |x| + |y| |x + y|với mọi x, y thuộc tập số thực R.

Suy ra B = |x + 8| + |2 – x| |x + 8 + 2 – x| với mọi x thuộc tập số thực R.

Lại có |x + 8 + 2 – x| = |10| = 10.

Do đó B = |x + 8| + |2 – x| 10.

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 10.

3. Một số bài tập luyện tập tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức lớp 7

Bài 1. Trong các đáp án dưới đây, hãy lựa chọn đáp án ĐÚNG nhất:

1. x²  0, với mọi x thuộc R.
2. x² = 0, với mọi x thuộc R.
3. x² > 0, với mọi x thuộc R.
4. x² < 0, với mọi x thuộc R.

Bài 2. Hãy chọn ra đáp án SAI trong các đáp án dưới đây:

1. |x| 0.
2. |x| + a a.
3. |x| – a a.
4. |x| + |y| |x + y|.

Bài 3. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức dưới đây:

a) M = 2.(5x – 15)² – 91;

b) N = 3.(4 - x)⁴ + 109.

Bài 4. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức dưới đây:

a) P = 17.|11 - x| + 34;

b) Q = |2x – 5| + |2x + 29|.

Bài viết trên đã nêu ra một số dạng toán thường gặp của bài toán đi tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức và phương pháp giải chi tiết của từng dạng, hy vong các em vận dụng tốt lý thuyết vào giải các bài tập một cách thành thạo và chính xác.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang