Table of Contents
Chúng ta đã được làm quen với tam giác ở tiểu học. Lên lớp 6 chúng ta cũng được học về tam giác với các kiến thức nâng cao hơn ở tiểu học. Và lên lớp 7 chúng ta vẫn học về tam giác nhưng kiến thức được nâng cao hơn nữa. Một trong những kiến thức ấy có kiến thức về hai tam giác bằng nhau. Vậy hai tam giác bằng nhau khi nào? Có bao nhiêu trường hợp bằng nhau của hai tam giác? Để giải đáp thắc mắc này thì chúng ta cùng tìm hiểu về bài các trường hợp bằng nhau của tam giác qua bài viết sau đây nhé.
1. Định nghĩa hai tam giác bằng nhau
Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau, các góc tương ứng bằng nhau.
Ví dụ:
- Bước 1: Vẽ 1 hình chữ nhật ABCD
- Bước 2: Vẽ đường chéo AC
- Bước 3: Sử dụng thước kẻ và thước đo độ để đo chiều dài và số đo các cặp cạnh và các cặp góc sau:
+ Cạnh AB và CD, AD và BC
+ Góc ABC và ADC, BAC và ACD, ACB và CAD
Ta thấy:
AB = CD, AD = BC, AC là cạnh chung
ABC = ADC, BAC = ACD, ACB = CAD
Các cạnh AB và CD, AD và BC, AC là các cạnh tương ứng
Các góc ABC và ADC, BAC và ACD, ACB và CAD là các góc tương ứng.
2. Ký hiệu hai tam giác bằng nhau
Hai tam giác bằng nhau được ý hiệu là: ΔABC = ΔCDA
3. Chứng minh hai tam giác bằng nhau
3.1. Trường hợp bằng nhau thứ 1 của tam giác: Cạnh - cạnh - cạnh
Hai tam giác được gọi là hai tam giác bằng nhau nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia.
Ví dụ minh họa:
Xét ΔQRT và ΔPZC, có:
QR = PZ
QT = PC
RT = ZC
Suy ra, ΔQRT = ΔPZC (c.c.c)
3.2. Trường hợp bằng nhau thứ 2 của tam giác: Cạnh - góc - cạnh
Hai tam giác được gọi là hai tam giác bằng nhau nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia.
Ví dụ minh họa:
Xét ΔQRT và ΔPZC, có:
RT = ZC
QT = PC
Suy ra, ΔQRT = ΔPZC (c.g.c)
*Chú ý: Đối với trường hợp bằng nhau trên thì cặp góc bằng nhau phải xen giữa hai cặp cạnh bằng nhau thì mới có thể kết luận được hai tam giác đó bằng nhau.
3.3. Trường hợp bằng nhau thứ 3 của tam giác: Góc - cạnh - góc
Hai tam giác được gọi là hai tam giác bằng nhau nếu hai góc và cạnh xen giữa của tam giác này bằng hai góc và cạnh xen giữa của tam giác kia.
Ví dụ minh họa:
Xét ΔQST và ΔPZC, có:
ST = ZC
Suy ra, ΔQST = ΔPZC (g.c.g)
*Chú ý: Đối với trường hợp bằng nhau góc - cạnh - góc thì cặp cạnh bằng nhau phải xen giữa hai cặp cạnh bằng nhau thì mới có thể kết luận được hai tam giác đó bằng nhau.
4. Các dạng bài tập và phương pháp giải liên quan đến hai tam giác bằng nhau
4.1. Chứng minh hai tam giác bằng nhau
*Phương pháp giải:
Áp dụng 3 trường hợp bằng nhau của tam giác và dựa vào yêu cầu của bài ra để phân tích, suy luận tìm ra phương pháp giải thích hợp nhất.
Ví dụ: Cho QT // FR và QT = FR. Chứng minh ΔTQR = ΔFRQ
Giải:
Ta nối Q với R, T với R, Q với F.
Vì QT // FR nên
Khi đó, ta xét ΔTQR và ΔFRQ, có:
QT = FR
QR là cạnh chung
Suy ra, ΔTQR = ΔFRQ (c.g.c)
4.2. Từ hai tam giác bằng nhau, tính số đo của các góc, các cạnh chưa biết của tam giác
*Phương pháp giải:
Ta phải xem hai tam giác đó bằng nhau theo trường hợp nào, sau đó suy ra các cặp cạnh, cặp góc tương ứng bằng nhau. Từ đó tính được các cạnh hoặc các góc chưa biết của tam giác từ những dữ kiện mà đề bài đã cho.
Ví dụ: Cho hình vẽ sau:
Biết DC = FC = 6cm, DR = 8cm,
Tính số đo của
Giải:
Vì CR là tia phân giác của
Xét ΔDCR và ΔFCR, có:
DC = FC
CR là cạnh chung
Suy ra: ΔDCR = ΔFCR (c.g.c)
⇒
Mà
Mặt khác, DR = FR (2 cạnh tương ứng bằng nhau)
Mà DR = 8cm ⇒ FR = 8cm
Vậy:
4.3. Bài tập có kiến thức tổng hợp liên quan đến các trường hợp bằng nhau của tam giác
*Phương pháp giải:
Tùy vào yêu cầu của bài ra để phân tích, suy luận tìm ra phương pháp giải chính xác và thích hợp nhất.
5. Một số bài tập chứng minh hai tam giác bằng nhau
Bài 1: Cho tam giác QRC. Lấy điểm P là trung điểm của cạnh QC. F là một điểm nằm trong tam giác QRC sao cho FQ = FC
a. Chứng minh rằng ΔFPC = ΔFPQ
b. Biết PC = 3cm,
ĐÁP ÁN
Ta có hình vẽ sau:
a. Vì P là trung điểm của QC nên PQ = PC
Xét ΔFPC và ΔFPQ, có:
FP là cạnh chung
FC = FQ
PC = PQ
Suy ra: ΔFPC = ΔFPQ (c.c.c)
b.
Theo bài ra, ta có: PQ = PC
Mà PC = 3cm nên suy ra PQ = 3cm
Mặt khác, vì ΔFPC = ΔFPQ nên
Mà
Bài 2: Cho tam giác FRV vuông tại R. Trên tia đối của tia RV lấy điểm D sao cho RD = RV
a. Chứng minh rằng ΔFRV = ΔFRD
b. Biết số đo của cạnh FV = 4cm. Tính số đo của cạnh FD.
c. FR có phải là tia phân giác của góc
ĐÁP ÁN
Ta có hình sau:
a.
Xét ΔFRV và ΔFRD, có:
FR là cạnh chung
RV = RD
Suy ra: ΔFRV = ΔFRD (c.g.c)
b. Vì ΔFPC = ΔFPQ nên FD = FV (hai cạnh tương ứng)
Mà FV = 4cm nên FD = 4cm
c. FR là tia phân giác của góc
Vì ΔFPC = ΔFPQ nên
Bài 3: Cho góc
a. So sánh hai tam giác TVG và TSG.
b. So sánh các cặp cạnh và các cặp góc tương ứng của 2 tam giác trên
ĐÁP ÁN
Ta có hình vẽ sau:
a. Vì Tz là tia phân giác của góc
Mà điểm V nằm trên tia Tu, điểm G nằm trên tia Tz, điểm S nằm trên Tc (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
Khi đó, ta xét ΔTVG và ΔTSG, có:
TV = TS
TG là cạnh chung
Suy ra: ΔTVG = ΔTSG (c.g.c)
Vậy hai tam giác TVG và TSG bằng nhau
b. Vì ΔTVG = ΔTSG nên ta các cặp cạnh và các cặp góc tương ứng cũng bằng nhau.
Cụ thể:
TV = TS
VG = GS
Trên đây là toàn bộ kiến thức về các trường hợp hai tam giác bằng nhau và các dạng bài tập liên quan có phương pháp giải và ví dụ cụ thể. Bên cạnh đó, đưa ra một số bài tập vận dụng có lời giải chi tiết và dễ hiểu. Hy vọng những kiến thức được cung cấp trong bài viết trên sẽ giúp các bạn học sinh hiểu rõ hơn về các trường hợp bằng nhau của hai tam giác và áp dụng vào giải các bài tập liên quan đến chủ đề này nhanh nhất và chính xác nhất.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang