Table of Contents
Định lý Pytago là một trong các định lý rất quan trọng trong toán học. Làm sao để biết một tam giác có vuông không và vuông tại đâu? Định lý pytago đảo dùng để làm gì? Áp dụng định lý Pytago đảo sẽ giúp các bạn trả lời được câu hỏi này. Cùng tìm hiểu về định lý Pytago đảo qua bài viết dưới đây.
1. Nhắc lại về kiến thức cũ
1.1. Tam giác vuông
- Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông
Ví dụ: Tam giác MNP có
- Lưu ý cách gọi tên các cạnh
+ Cạnh đối diện với góc vuông gọi là cạnh huyền.
Ở hình trên, cạnh MP đối diện với góc vuông nên MP là cạnh huyền.
+ Hai cạnh kề với góc vuông được gọi là hai cạnh góc vuông.
Ở hình trên ta thấy NP, NM là hai cạnh góc vuông của tam giác MNP.
1.2. Định lý Pytago thuận
Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.
Ví dụ: Tam giác MNP vuông tại N thì theo định lý pytago, ta có:
» Xem thêm: Định lý Pytago là gì? Những điều bạn cần hiểu về định lý Pytago
2. Định lý Pytago đảo là gì?
Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.
Ví dụ: Tam giác MNP có
⇒ Tam giác MNP vuông, MP là cạnh huyền => tam giác MNP vuông tại N.
3. Dạng bài tập áp dụng định lý Pytago đảo và phương pháp chứng minh
3.1. Dạng 1: Xác định tam giác vuông tại đỉnh nào?
*Phương pháp giải:
Dựa vào định lý Pytago thuận và đảo để xác định được một tam giác vuông tại đỉnh nào (góc đối diện với cạnh huyền là góc vuông).
Ví dụ:
Cho tam giác ABC, có
Hỏi tam giác ABC vuông tại đâu?
Hướng dẫn giải
Ta có:
=> Tam giác ABC vuông (theo định lý pytago đảo)
Mà AC là cạnh huyền =>
Bài tập luyện tập
Bài 1: Áp dụng định lý Pytago đảo để xác định các tam giác dưới đây vuông tại đâu?
a) Tam giác ABC có
b) Tam giác MNP có
c) Tam giác DEF có
d) Tam giác HPK có
ĐÁP ÁN
a) Tam giác ABC có
Áp dụng định lý Pytago thuận, ta thấy BC là cạnh huyền của tam giác ABC
mà góc đối với cạnh huyền BC là góc A
nên theo định lý Pytago đảo, tam giác ABC vuông tại A
b) Tam giác MNP có
Áp dụng định lý Pytago thuận, ta thấy PN là cạnh huyền của tam giác MNP
mà góc đối với cạnh huyền PN là góc M
nên theo định lý Pytago đảo, tam giác NMP vuông tại M
c) Tam giác DEF có
Áp dụng định lý Pytago thuận, ta thấy EF là cạnh huyền của tam giác DEF
mà góc đối với cạnh huyền EF là góc D
nên theo định lý Pytago đảo, tam giác DEF vuông tại D
d) Tam giác HPK có
Áp dụng định lý Pytago thuận, ta thấy HP là cạnh huyền của tam giác HPK
mà góc đối với cạnh huyền HP là góc K
nên theo định lý Pytago đảo, tam giác HPK vuông tại K
Bài 2: Áp dụng định lý Pytago đảo để xác định các tam giác dưới đây vuông tại đâu?
a) Tam giác ABC có AC = 5, AB = 4, BC = 3
b) Tam giác MNP có MN = 6, PN = 8, MP = 10
c) Tam giác DFE có EF = 9, DE = 12 , DF= 15
d) Tam giác HPK có HP = 12, PK = 20, HK = 16
ĐÁP ÁN
a) Tam giác ABC có AC = 5, AB = 4, BC = 3
Ta có AC2 = 25; AB2 = 16; BC2 = 9
=> AC2 = AB2 + BC2
=> Theo định lí Pytago đảo ta có tam giác ABC vuông tại B
b) Tam giác MNP có MN = 6, PN = 8, MP = 10
Ta có: MN2 = 36; PN2 = 64; MP2 = 100
=> MP2 = MN2 + PN2
=> Theo định lí Pytago đảo ta có tam giác MNP vuông tại N
c) Tam giác DFE có EF = 9, DE = 12 , DF= 15
Ta có: EF2 = 81; DE2 = 144; DF2 = 225
=> DF2 = DE2 + EF2
=> Theo định lí Pytago đảo ta có tam giác DEF vuông tại E
d) Tam giác HPK có HP = 12, PK = 20, HK = 16
HP2 = 144; PK2 = 400; HK2 = 256
=> PK2 = HP2 + HK2
=> Theo định lý Pytago đảo ta có tam giác HPK vuông tại H
3.2. Dạng 2: Bài tập chứng minh định lý Pytago đảo
*Phương pháp giải:
Áp dụng định lý Pytago thuận và đảo, dựa vào yêu cầu bài để chứng minh.
Bài tập luyện tập
Bài 1: Cho tam giác MNP có đường cao MA, NA = 3, MN = 5, MP = 8
a) Tính cạnh MA
b) Không dùng độ dài cạnh, chứng minh MA < MP
ĐÁP ÁN
a) Tam giác MNP có đường cao MA =>
=> Tam giác MAN vuông tại A
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác MNA có:
MN2 = NA2 + MA2 => MA2 = MN2 - NA2 = 52 - 32 = 16 => MA = 4
b) Ta có, tam giác MAP vuông tại A
=> MP là cạnh huyền => MP > MA
Bài 2: Cho tam giác MNP có MP = MN, E, F lần lượt là trung điểm của MN, MP. Kẻ đường cao MD. Cho NE = MF = 3, NP = 10, ED = DF = 4
a) Chứng minh tam giác NED và tam giác DFP là tam giác vuông
b) Tính cạnh MD
ĐÁP ÁN
a) Chứng minh tam giác NED và tam giác DFP là tam giác vuông
*Tam giác NED vuông
Ta có: ND2 = 25; EN2 = 9; ED2 = 16
=> ND2 = EN2 + ED2 => tam giác NED vuông tại E
* Tam giác DFP vuông
F là trung điểm của MP => FP = MF = 3
Có: DF2 = 16; FP2 = 9; DP2 = 25
=> DP2 = DF2 + FP2 => tam giác DEF vuông tại F
b) Có E là trung điểm của MN => MN = 2NE = 6
Tam giác MND vuông tại D => MN2 = MD2 + DN2 => MD2 = MN2 - DN2 = 62 - 52 = 11
=> MD =
3.3. Dạng 3: Dạng câu hỏi trắc nghiệm củng cố
*Phương pháp giải:
Dựa vào lý thuyết định lý pytago thuận vào đảo để trả lời
Bài tập luyện tập
Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại C. Theo định lý pytago ta có:
A.
B.
C.
ĐÁP ÁN
Đáp án đúng là B
Câu 2: Cho tam giác MNP có MP2. = MN2 - PN2 . Tam giác MNP vuông tại đâu?
A. Vuông tại M
B. Vuông tại N
C. Vuông tại P
ĐÁP ÁN
Có: MP2. = MN2 - PN2 => MP2 + PN2 = MN2
=> Theo định lý Pytago đảo có tam giác MNP vuông tại P
Đáp án đúng là C
Vậy trên đây là toàn bộ kiến thức chứng minh định lý Pytago đảo cũng như các dạng bài tập liên quan để các bạn học sinh tham khảo. Hãy ghi nhớ các kiến thức này sẽ giúp các bạn hiểu rõ hơn về định lý Pytago đảo.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang