Table of Contents
Trong chương trình Giáo dục phổ thông tổng thể được xây dựng từ 2018, tam giác vuông cân được xây dựng dựa trên cơ sở của tam giác cân. Dựa vào tên gọi, ta có thể thấy tam giác vuông cân là loại tam giác kết hợp giữa tam giác vuông và tam giác cân. Chính vì vậy, tam giác vuông cân sẽ mang đầy đủ tính chất của tam giác vuông và tam giác cân. Vậy thế nào là tam giác vuông cân? Dấu hiệu nhận biết tam giác vuông cân? Cách chứng minh tam giác vuông cân?… Chúng ta hãy theo dõi bài viết dưới đây nhé.
1. Nhắc lại về tam giác vuông và tam giác cân
1.1. Tam giác vuông
- Định nghĩa: Tam giác vuông là tam giác có một và chỉ một góc vuông.
- Tính chất: Trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau (hai góc nhọn có tổng bằng 90°).
Ví dụ 1: Tam giác vuông XYZ vuông tại X có tổng góc Y và góc Z bằng 90°.
Thật vậy,
1.2. Tam giác cân
- Định nghĩa: Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.
- Tính chất: Trong tam giác cân, hai góc kề ở đáy bằng nhau.
- Dấu hiệu nhận biết: Để chứng minh một tam giác là tam giác cân, ta có thể chứng minh hai cạnh hoặc hai góc của tam giác bằng nhau.
Ví dụ 2: Tam giác XYZ cân tại X có XY = XZ và góc Y = góc Z.
2. Tam giác vuông cân là gì? Tính chất & dấu hiệu nhận biết tam giác vuông cân
- Định nghĩa tam giác vuông cân: Tam giác vuông cân là tam giác cân có hai cạnh góc vuông bằng nhau.
- Tính chất tam giác vuông cân: Trong tam giác vuông cân, hai góc nhọn bằng nhau và bằng 45°.
- Dấu hiệu nhận biết tam giác vuông cân:
Để chứng minh một tam giác là tam giác vuông cân có 02 cách:
- Chứng minh một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau.
- Chứng minh một tam giác vuông có hai góc nhọn bằng nhau.
Ví dụ 3: Tam giác XYZ vuông cân tại X có XY = XZ và góc Y = góc Z = 45°.
3. Các dạng bài tập liên quan đến tam giác vuông cân
3.1. Dạng 1. Nhận biết tam giác vuông cân
Bài 1. Cho tam giác XYZ vuông tại X. Chứng minh tam giác XYZ vuông cân tại X nếu
i) Góc Y = 45°;
ii) XY = XZ.
ĐÁP ÁN
i) Xét ∆XYZ có:
=> Tam giác XYZ cân tại X (dấu hiệu nhận biết)
Mà tam giác XYZ lại vuông tại X (giả thiết)
=> Tam giác XYZ vuông cân tại X. (dấu hiệu nhận biết)
ii) Xét ∆XYZ có: XY = XZ (giả thiết)
=> ∆XYZ cân tại X (dấu hiệu nhận biết)
Mà ∆XYZ vuông tại X (giả thiết)
=> ∆XYZ vuông cân tại X (dấu hiệu nhận biết)
Bài 2. Cho tam giác DEF vuông tại E. Để tam giác DEF là tam giác vuông cân cần thêm điều kiện gì?
ĐÁP ÁN
Để tam giác DEF là tam giác vuông cân
Mà tam giác DEF vuông tại E (giả thiết)
<=> tam giác DEF cân tại E.
<=> ED = EF hoặc góc D = góc F.
Bài 3. Cho tam giác MNQ cân tại N. Để tam giác MNQ là tam giác vuông cân cần thêm điều kiện gì?
ĐÁP ÁN
Để tam giác MNQ là tam giác vuông cân
Mà tam giác MNQ cân tại N (giả thiết)
<=> tam giác MNQ vuông tại N
<=> góc N = 90°
hoặc tam giác MNQ cân tại N có góc M = 45°
hoặc tam giác MNQ cân tại N có góc P = 45°
3.2. Dạng 2. Vận dụng tính chất của tam giác vuông cân để tính số đo góc hoặc chứng minh các góc bằng nhau hoặc các đoạn thẳng bằng nhau
Bài 4. Cho ∆XYZ vuông cân tại X. Từ X kẻ đường vuông góc với YZ tại H.
a) Chứng minh H là trung điểm của YZ.
b) Chứng minh XH là tia phân giác của góc X.
c) Chứng minh tam giác HXY và HXZ là tam giác vuông cân.
ĐÁP ÁN
a) Vì ∆XYZ vuông cân tại X (gt)
=> XY = XZ và góc Y = góc Z = 45°.
Xét ∆XYH có:
Chứng minh tương tự
Xét ∆XYH và ∆XZH có:
=> ∆XYH = ∆XZH (g.c.g)
=> HY = HZ (2 cạnh tương ứng)
b) Vì
=> XH là tia phân giác của
c) Xét ∆XYH có:
=> ∆XYH là tam giác vuông cân.
Chứng minh tương tự ∆XZH là tam giác vuông cân.
Bài 5. Cho tam giác XYZ vuông cân tại X. Cho YB và ZC là lần lượt là tia phân giác của góc Y và góc Z. Gọi K là giao điểm của YB và ZC.
a) Chứng minh ∆XYB = ∆XZC
b) Chứng minh ∆KYZ là tam giác cân.
c) Chứng minh CB // YZ
ĐÁP ÁN
a) Vì tam giác XYZ vuông cân tại X (giả thiết)
Vì YB là phân giác của góc Y (giả thiết)
Vì ZC là phân giác của góc Z (giả thiết)
Xét ∆XYB và ∆XZC có:
=> ∆XYB = ∆XZC (g.c.g)
b) Xét ∆KYZ có:
=> ∆KYZ cân tại K (dấu hiệu nhận biết)
c) Vì ∆XYZ vuông cân tại X (gt)
Xét ∆XBC có XB = XC (do ∆XYB = ∆XZC)
=> ∆XBC cân tại X (dấu hiệu nhận biết)
mà 2 góc ở vị trí đồng vị
=> CB // YZ (dấu hiệu nhận biết 2 đường thẳng song song)
4. Các bài tập tự luyện về tam giác vuông cân
Bài 1. Cho tam giác XYZ vuông cân tại X. Vẽ ra ngoài tam giác XYZ tam giác cân YZM có đáy YZ và góc ở đáy 15°. Vẽ tam giác đều XYN (N thuộc nửa mặt phẳng bờ XY chứa Z). Chứng minh ba điểm Y, M, N thẳng hàng.
Bài 2. Cho tam giác XYZ vuông cân tại X. Điểm A ở trong tam giác sao cho góc AYZ = 30° và góc AZY bằng 15°. Chứng minh các tam giác XAZ, XAY cân.
Bài 3. Cho tam giác XYZ vuông cân tại X, cạnh bên bằng 5 và hai điểm A, B bất kỳ. Chứng minh rằng trên các cạnh của tam giác XYZ tồn tại một điểm sao cho tổng các khoảng cách từ đó đến A và B lớn hơn 7.
Bài 4. Cho tam giác XYZ vuông cân tại X, góc Z bằng 15°. Trên tia YX lấy điểm K sao cho YK = 2XZ. Chứng minh tam giác KYZ cân.
Bài 5. Cho tam giác XYZ vuông cân tại X. Trên nửa mặt phẳng bờ XZ không chứa điểm Y, kẻ tia Zt sao cho ZX là tia phân giác của góc Yzt. Từ X kẻ XE ⊥ Zt, từ Y kẻ YD ⊥ XE. Gọi XH là đường cao của tam giác XYZ. Chứng minh rằng:
a) X là trung điểm của DE;
b) góc DHE bằng 90°.
Vậy qua bài học này, chúng ta đã củng cố được một số kiến thức cơ bản của tam giác vuông cân. Và biết cách chứng minh tam giác vuông cân, cách ứng dụng các tính chất của tam giác vuông cân để tính độ dài các đoạn thẳng, tính số đo góc hoặc chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau, các góc bằng nhau. Hy vọng bài học này sẽ giúp các em tự tin hơn khi làm các bài tập về tam giác vuông cân.