Table of Contents
Ở bài học trước chúng ta đã tìm hiểu về tam giác đều. Vậy nửa tam giác đều là hình gì? Và nửa tam giác đều có những tính chất gì? Để tính độ dài các cạnh trong nửa tam giác đều ta làm thế nào? Vậy để hiểu rõ hơn về nửa tam giác đều chúng ta cùng nhau tìm hiểu bài viết này nhé.
1. Ôn tập về tam giác đều
1.1. Định nghĩa
Một tam giác được gọi là tam giác đều khi tam giác đó có ba cạnh bằng nhau.
1.2. Tính chất
Nếu tam giác MNK đều thì tam giác MNK có các tính chất sau:
- Ba cạnh bằng nhau: MN = MK = NK
- Ba góc bằng nhau và bằng 60°:
2. Nửa tam giác đều là gì?
Định nghĩa nửa tam giác đều: Cho tam giác MNK đều, từ M kẻ MH vuông góc với NK. Khi đó, đường cao MH đã chia tam giác đều MNK thành hai tam giác vuông MHK và tam giác vuông MHN bằng nhau. Và hai tam giác MHK và tam giác MHN có tính chất như vậy được gọi là nửa tam giác đều.
Qua đó, ta rút ra được định nghĩa: Nửa tam giác đều là một tam giác vuông có một góc nhọn bằng 60° hoặc một góc nhọn bằng 30°.
Lưu ý: Với mỗi đỉnh của tam giác đều ta có thể chia thành hai nửa tam giác đều bằng nhau.
3. Tính chất nửa tam giác đều
Nếu một tam giác là nửa tam giác đều thì tam giác đó có các tính chất sau:
- Các góc nhọn có số đo là 60° và 30°.
- Cạnh góc vuông đối diện với góc 30° có độ dài bằng nửa cạnh huyền.
Điều này ta có thể dễ dàng chứng minh được qua ví dụ sau đây:
Ví dụ: Cho tam giác đều HMO, từ H kẻ HK vuông góc với MO (K thuộc MO).
a) Tính số đo góc MHK.
b) Chứng minh rằng: KM có độ dài bằng nửa cạnh HM.
Giải.
a) Tam giác HMO đều suy ra
Tam giác HKM vuông tại K (HK ⊥ OM)
Suy ra
Nên
b) Tam giác HMO đều có HK là đường cao
⇒ HK đồng thời là đường trung tuyến
⇒ K là trung điểm của OM
⇒
Mà OM = HM (vì tam giác HMO đều)
Vậy
4. Tính độ dài các cạnh của nửa tam giác đều
Giả sử tam giác DEG là nửa tam giác đều có cạnh bằng a (như hình vẽ). Khi đó ta hoàn toàn tính được độ dài các cạnh trong tam giác DEG.
+ Theo tính chất của nửa tam giác đều, ta có cạnh
+ Tam giác DEG vuông tại D, áp dụng định lý Pytago ta có:
Suy ra
Nên
Khi biết được độ dài các cạnh của nửa tam giác đều, chúng ta sẽ tính được chu vi và diện tích của nửa tam giác đều.
+ Chu vi của tam giác DEG là: DE + DG + EG =
+ Diện tích của tam giác DEG là:
Như vậy, nếu tam giác đều có độ dài cạnh bằng a thì công thức tính nửa tam giác đều đó là:
• Chu vi nửa tam giác đều:
. • Diện tích nửa tam giác đều:
.
5. Bài tập về nửa tam giác đều
5.1. Bài tập trắc nghiệm
*Phương pháp giải: Thông thường các bài tập trắc nghiệm ở dạng này liên quan đến các câu hỏi lý thuyết về nửa tam giác đều. Các em vận dụng khái niệm, tính chất, dấu hiệu nhận biết nửa tam giác đều để có thể làm tốt dạng này.
Câu 1: Chọn câu trả lời đúng. Nửa tam giác đều là:
A. Tam giác có ba cạnh đều bằng nhau.
B. Tam giác được chia ra bởi một đường thẳng bất kỳ của tam giác đều.
C. Tam giác vuông có một góc nhọn bằng 60°.
D. Tam giác có hai góc bằng nhau và cùng bằng 30°
ĐÁP ÁN
Theo định nghĩa nửa tam giác đều, chọn đáp án C.
Câu 2. Chọn câu trả lời đúng. Cho tam giác RST vuông tại S có góc R= 30°. Khi đó tam giác RST còn được gọi là:
A. Tam giác cân
B. Nửa tam giác đều
C. Tam giác vuông cân
D. Tam giác cân
ĐÁP ÁN
Chọn đáp án B.
Tam giác RST vuông tại S có góc R= 30°. Khi đó tam giác RST còn được gọi là nửa tam giác đều.
Câu 3. Chọn câu trả lời đúng. Nửa tam giác đều có số đo ba góc lần lượt là:
A. 45°, 45°, 90°.
B. 60°, 60°, 60°.
C. 30°, 30°, 120°.
D. 30°, 60°, 90°.
ĐÁP ÁN
Chọn đáp án D.
Vì nửa tam giác đều là tam giác vuông có một góc nhọn bằng 60° nên số đo ba góc trong nửa tam giác đều lần lượt là: 30°, 60°, 90°.
Câu 4. Chọn câu trả lời đúng. Cho tam giác đều có cạnh 4 cm, khi đó diện tích của một nửa tam giác đều đó là:
A. S = 2 cm2.
B. S =
C. S =
D. S =
ĐÁP ÁN
Chọn đáp án C.
Dựa vào công thức tính nhanh đã nêu ở mục 4 diện tích nửa tam giác đều là:
Thay a = 4 cm vào công thức ta có diện tích cần tìm là:
5.2. Bài tập tự luận
*Phương pháp giải. Các bài tập tự luận ở dạng này thường là các bài tập chứng minh nửa tam giác đều và tính độ dài các cạnh, các góc của nửa tam giác đều. Để chứng minh một tam giác là nửa tam giác đều, ta có thể chứng minh theo các cách sau:
- Chứng minh tam giác vuông có một góc nhọn bằng 60°.
- Chứng minh tam giác vuông có một góc nhọn bằng 30°.
- Chứng minh tam giác vuông có một cạnh góc vuông có độ dài bằng nửa cạnh huyền.
Bài tập. Cho tam giác có các yếu tố sau, trong các tam giác đó tam giác nào là nửa tam giác đều?
a) Tam giác ABC có AB = 4cm, BC = 5cm, AC = 3cm.
b) Tam giác EGH vuông tại G có
c) Tam giác MNF có MN = 4 cm, NF =
d) Tam giác RSK vuông tại S có RK = 16 cm, SR = 8 cm.
ĐÁP ÁN
a) Tam giác ABC có:
BC2 = 52 = 25
AB2 + AC2 = 42 + 32 = 16 + 9 = 25
Suy ra BC2 = AB2 + AC2
Nên tam giác ABC là tam giác vuông tại A.
Khi đó hai cạnh góc vuông là AB = 4cm, AC = 3cm. Cạnh huyền BC = 5 cm.
Vì tam giác vuông ABC không có cạnh góc vuông nào bằng nửa cạnh huyền nên tam giác ABC không phải là nửa tam giác đều.
b) Tam giác EGH vuông tại G có
Vậy tam giác EGH là nửa tam giác đều.
c) Tam giác MNF có:
MF2 = 82 = 64
MN2 + NF2 =
Suy ra MF2 = MN2 + NF2
Nên tam giác MNF là tam giác vuông tại N.
Khi đó ta có cạnh góc vuông MN bằng một nửa cạnh huyền MF (vì MN= 4cm, MF = 8 cm)
Vậy tam giác MNF là nửa tam giác đều.
d) Tam giác RSK vuông tại S nên RK là cạnh huyền, SR là cạnh góc vuông.
Mà RK = 16 cm, SR = 8 cm nên cạnh SR bằng nửa cạnh RK.
Vậy tam giác RSK là nửa tam giác đều.
Hy vọng bài viết này sẽ giúp các em hiểu và áp dụng được kiến thức để làm tốt các bài tập liên quan đến nửa tam giác đều và các bài tập chứng minh nửa tam giác đều.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang