Bài 3: Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp

1. Phương Trình Bậc Nhất Đối Với Một HSLG

1.1. Định nghĩa

Dạng: , t là một trong các hàm số lượng giác.

1.2. Cách giải

Xét phương trình  trong đó, là các hệ số, khác  và    là một hàm số lượng giác.

Ta có

Ví dụ 1:

Giải các phương trình sau:

a.  

b.  

Hướng dẫn giải

a)  

b)  

1.3. Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Ví dụ 2: Giải phương trình

a)  

b)  

Hướng dẫn giải

a)  

b)  

2. Phương Trình Bậc Hai Đối Với Một Hàm Số Lượng Giác

2.1. Định nghĩa

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng  

trong đó,  là các hệ số,  khác  và  là một hàm số lượng giác.

Ví dụ 3. Giải phương trình:

a)  

b)  

Hướng dẫn giải

a)  

Đặt:  

PT  

thoả mãn điều kiện  

b) Đặt  ,

Ta có PT             

Ta có  

2.2. Phương trình đưa về dạng phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Ví dụ 4: Giải phương trình

a  

b.  

Hướng dẫn giải

a.  

Đặt   , ta có phương trình

Ta có:

b.  

Điều kiện :  

PT  

Đặt   , ta có

PT      

Ta có      

b)

Chú ý: Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với  

Định nghĩa: Là phương trình có dạng .

Cách giải:

TH1: Kiểm tra  có phải là nghiệm của phương trình hay không.

TH2: Xét . Chia cả 2 vế của phương trình cho  ta được

Giải phương trình này ta được nghiệm.

Ngoài cách trên ta có thể sử dụng phương pháp hạ bậc    ,   ,  

sau đó đưa về phương trình bậc nhất đối với :   .

Ví dụ 5: Giải phương trình  

TH1: Nếu   thay vào phương trình ta có:  (vô lí)

TH2: Nếu  chia cả hai vế cho   ta có

3. Phương Trình Bậc Nhất Đối Với Sinx Và Cosx

3.1. Công thức biến đổi biểu thức a sinx + b cosx

Nhắc lại các công thức cộng

Với  có  

Vì  nên có một góc α  sao cho  

Khi đó        

Vậy ta có công thức sau    (1)

                   với  

3.2. Phương trình dạng a sinx + b cosx = c

Xét phương trình  với , .

Theo biến đổi trên có .

Đây là phương trình lượng giác cơ bản, phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi .

Ví dụ 6: Giải phương trình

a)  

Chia cả hai vế cho  ta có

b)  

Chia cả hai vế cho  ta có 

4. Bài Tập Luyện Tập Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp Của Trường THPT Ninh Giang

Bài 1. Tìm tập nghiệm của phương trình

a)  

b)  

c)  

d)  

Bài 2. Giải các phương trình sau

a)  

b)  

c)  

d)  

Bài 3. Giải phương trình

a)  

b)  

c)  

d)  

Bài 4. Giải phương trình (1)

Bài 5. Giải phương trình:  

Biên soạn: GV. Lưu Thị Liên (THPT Ninh Giang)