Bài 2: Cực Trị Của Hàm Số

1. Khái niệm cực đại, cực tiểu

ĐỊNH NGHĨA: Cho hàm số  xác định và liên tục trên khoảng  (có thể   là  ,   là ) và điểm  .

a) Nếu tồn tại số   sao cho  với mọi  và  thì ta nói hàm số  đạt cực đại tại  

b) Nếu tồn tại số   sao cho  với mọi  và x ≠ x₀ thì ta nói hàm số  đạt cực tiểu tại  

CHÚ Ý:

1. Nếu hàm số  đạt cực đại (cực tiểu) tại  thì  được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số;  được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của

hàm số; điểm  được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

2. Các điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

3. Nếu hàm số  có đạo hàm trên khoảng  và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại   thì .

2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

ĐỊNH LÍ 1: Giả sử hàm số  liên tục trên khoảng   và có đạo hàm trên  hoặc trên , với .

a) Nếu  trên khoảng  và  trên khoảng   thì  là một điểm cực đại của hàm số .

b) Nếu   trên khoảng  và  trên khoảng  thì  là một điểm cực tiểu của hàm số .

Ví dụ 1:

1) .

Bảng xét dấu  :

Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại   và đạt cực tiểu tại .

2)  

Bảng xét dấu :

Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại  và đạt cực tiểu tại  .

3)

Kết luận: Hàm số không có cực trị

3. Quy tắc tìm cực trị, định lý 2

QUY TẮC I: Để tìm cực trị của hàm số ta thực hiện lần lượt các bước sau đây

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Tìm . Tìm các điểm tại đó   bằng 0 hoặc  không xác định.

Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Ví dụ 2:

Tìm cực trị của hàm số  

Lời giải.

Tập xác định:  

Ta có  

Bảng biến thiên

Hàm số đạt cực đại tại  

Hàm số đạt cực đại tại  

ĐỊNH LÍ 2: Cho hàm số  có đạo hàm cấp hai trong khoảng  , với . Khi đó:

a) Nếu  thì   là điểm cực tiểu của hàm số.

b) Nếu  thì  là điểm cực đại của hàm số.

QUY TẮC II: Để tìm điểm cực đại, cực tiểu của hàm số ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Tính  . Giải phương trình  và kí hiệu  là các nghiệm của phương trình.

Bước 3: Tính  và .

Bước 4: Dựa vào dấu của   suy ra điểm cực trị của hàm số.

Ví dụ 3: Tìm cực trị của hàm số  

Lời giải

• Tập xác định .
• Ta có:  

Giải .

• Ta có:  

Vì  là điểm cực đại của hàm số  và  .

Vì  là điểm cực tiểu của hàm số  và .

4. Bài luyện tập cực trị của hàm số của THPT Ninh Giang

Bài 1

Tìm cực trị của hàm số .

Bài 2

Tìm cực trị của hàm số .

Bài 3

Cho hàm số:  . Với giá trị nào của  thì hàm số đạt cực đại tại điểm .

Bài 4

Tìm các hệ số   sao cho hàm số   đạt cực trị tại điểm  và .

Bài 5.

Tìm cực trị của hàm số .

Bài 6.

Tìm cực trị của hàm số .

Bài 7.

Tìm tất cả các giá trị của tham số  để hàm số   có ba điểm cực trị.

Bài 8.

Tìm tất cả các giá trị   sao cho đồ thị hàm số   có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có một góc bằng .

Bài 9.

Cho hàm số  có bảng biến thiên

Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

Biên soạn: GV. Lưu Thị Liên (THPT Ninh Giang)