Table of Contents
I. Khái niệm đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu của đường xiên
Quan sát hình sau:
• Đoạn thẳng AH gọi là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.
• Điểm H gọi là chân của đường vuông góc hay hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d.
• Đoạn thẳng AB gọi là một đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.
• Đoạn thẳng HB gọi là hình chiếu của đường xiên AB trên đường thẳng d.
(SGK, trang 57)
II. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên
Nhận xét:
Qua một điểm nằm bên ngoài đường thẳng ta chỉ vẽ đường duy nhất một đường vuông góc nhưng vẽ được vô số đường xiên đến đường thẳng d
Định lí 1:
Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất. (SGK, trang 58)
Chú ý: Độ dài đường vuông góc AH gọi là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d. (SGK, trang 58)
III. Các đường xiên và hình chiếu của chúng
Định lí 2:
Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó:
a) Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn ;
b) Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn ;
c) Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau, và ngược lại, nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau. (SGK, trang 59)
+ Nếu HB > HC thì AB > AC
+ Nếu AB > AC thì HB > HC
+ Nếu HB = HC thì AB = AC và ngược lại nếu AB = AC thì HB = HC.
IV. Bài tập luyện tập quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu của trường Nguyễn Khuyến
Bài 1. Cho tam giác MIN có MI > MN. Lấy điểm E trên đường cao MH của tam giác MIN. Hãy so sánh:
a)
b) HI và HN
c)
ĐÁP ÁN
.jpg)
a) Tam giác MIN có MI > MN (giả thiết)
Vậy
b) Ta có:
HI là hình chiếu của đường xiên MI trên cạnh IN.
HN là hình chiếu của đường xiên MN trên cạnh IN.
Mà: MI > MN (chứng minh câu a)
Vậy HI > HN (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)
c) Ta có:
HI là hình chiếu của đường xiên IE trên cạnh IN.
HN là hình chiếu của đường xiên EN trên cạnh IN.
Mà: HI > HN (chứng minh câu b)
Suy ra: IE > EN (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)
Xét tam giác IEN có : IE > EN (chứng minh trên)
Do đó: (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác)
Bài 2. Tam giác DEF vuông tại D. Gọi B là trung điểm DE; A và C lần lượt là hình chiếu của E và D trên đường thẳng CB. Chứng minh:
a) AE = CD
b)
c)
ĐÁP ÁN
a) Xét ABE và CBD có:
BE = BD (B là trung điểm của DE)
b) Ta có:
Mà:
c) Ta có: AB = BC (vì
FC + FA = FB – BC + FB + AB = 2 FB (1)
Mặt khác ta có: FB là cạnh huyền của vuông tại D
FB > DF (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 2DF < FC + FA.
Biên soạn: PHẠM NGỌC DIỆU (Trường THCS - THPT Nguyễn Khuyến BD)