Bài 8: Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình

1. Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1. Lập phương trình.

- Chọn ẩn số và đặt điều kiện cho ẩn số.

- Biểu diễn các dữ kiện chưa biết qua ẩn số.

- Lập phương trình biểu thị tương quan giữa ẩn số và các dữ kiện đã biết.

Bước 2. Giải phương trình.

Bước 3. Đối chiếu nghiệm của phương trình với điều kiện của ẩn số (nếu có) và với đề bài để đưa ra kết luận.

2. Các dạng toán và phương pháp giải

Dạng 1. Bài toán về năng suất lao động

Phương pháp giải: Năng suất lao động được tính bằng tỉ số giữa Khối lượng công việc trên một đơn vị thời gian.

Ví dụ 1: Một phân xưởng theo kế hoạch phải dệt 3000 tấm thảm. Trong 8 ngày đầu họ đã thực hiện được đúng kế hoạch, nhũng ngày còn lại họ đã dệt vượt mức mỗi ngày 10 tấm, nên đã hoàn thành kế hoạch trước 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng phải dệt bao nhiêu tấm?

Giải:

Gọi số tấm thảm phân xưởng phải dệt trong một ngày theo kế hoạch là x (ĐK: )

Theo bài ra ta có phương trình:  

Giải phương trình ta được x = 100 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng phải dệt 100 tấm thảm.

Dạng 2. Toán về công việc làm chung, làm riêng 

Phương pháp giải: Ta chú ý rằng:

- Thường coi khối lượng công việc là 1 đơn vị.

- Năng suất 1 + Năng suất 2 = Tổng năng suất.

Ví dụ 2: Hai tổ sản xuất cùng làm chung một công việc thì hoàn thành trong 2 giờ. Hỏi nếu làm riêng một mình thì mỗi tổ cần bao nhiêu thời gian mới hoàn thành công việc, biết khi làm riêng tổ 1 hoàn thành sớm hơn tổ 2 là 3 giờ?

Giải:

Gọi năng suất của tổ 1 là: x (x > 0, phần công việc/giờ)

Năng suất của tổ 2 là (phần công việc/giờ)

Thời gian tổ 1 làm 1 mình xong công việc là  giờ;

Thời gian tổ 2 làm 1 mình xong công việc là giờ;

Theo bài ra có phương trình:

Giải phương trình ta được

Vậy thời gian tổ 1, tổ 2 hoàn thành công việc 1 mình lần lượt là 3 giờ và 6 giờ.

Dạng 3. Toán về quan hệ các số

Ví dụ 3: Tìm hai số dương biết rằng hai lần số lớn lớn hơn ba lần số bé là 9 và hiệu các bình phương của chúng bằng 119.

Giải:

Gọi số lớn là a (a > 0)

Số bé là

Theo đề ra, ta có phương trình:

Giải phương trình ta được a = 12.

Vậy số lớn là 12, số bé là 5.

Dạng 4. Toán có nội dung hình học

Ví dụ 4: Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 4m và diện tích là 320m². Tính chiều dài và chiều rộng của thửa ruộng đó.

Giải:

Gọi x (m) là chiều rộng của thửa ruộng hình chữ nhật (x > 0)

Chiều dài của thửa ruộng là x+4 (m)

Theo đề ra ta có phương trình:

Giải phương trình ta được x = 16

Vậy chiều rộng và chiều dài của thửa ruộng lần lượt là: 16m và 20m.

Dạng 5. Toán chuyển động 

Phương pháp giải: Chú ý rằng: Quãng đường = Vận tốc x Thời gian.

Ví dụ 5: Một người đi xe máy từ A đểh B với vận tốc 25km/h. Lúc về người đó đi với vận tốc 30km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 20 phút. Tính quãng đường AB.

Giải:

Gọi thời gian người đó đi từ A đến B là x giờ (x > 0)

Vì thời gian về ít hơn thời gian đi là 20 phút nên thời gian về là (giờ). Từ đó ta có phương trình  

Giải phương trình ta được x = 2 (nhận)

Vậy quãng đường AB là 50km.

Dạng 6. Toán về chuyển động trên dòng nước

Phương pháp giải: 

Ta có chú ý sau:

- Vận tốc tàu khi xuôi dòng = Vận tốc riêng của tàu + Vận tốc dòng nước;

- Vận tốc tàu khi ngược dòng = Vận tốc riêng của tàu - Vận tốc dòng nước.

Ví dụ 6: Một canô tuần tra đi xuôi dòng từ A đến B hết 1 giờ 20 phút và ngược dòng tù B về A hết 2 giờ. Tính vận tốic riêng của canô, biết vận tốc dòng nước là 3km/h.

Giải:

Gọi vận tốc riêng của canô là x (km/h; x > 0). 

Theo đề bài ta có phương trình:

Giải phương trình ta được x = 15 (nhận)

Vậy vân tốc riêng của canô là 15 km/h

Dạng 7. Các dạng khác

Ví dụ 7: Hai lớp 9A và 9B có tổng cộng 94 học sinh biết rằng 25% số học sinh 9A và 20% số học sinh 9B đạt loại giỏi. Tổng số học sinh giỏi của hai lớp là 21. Tính số học sinh của mỗi lớp?

Giải:

Gọi số học sinh lớp 9A là x (x > 21); 

Số học sinh lớp 9B là 94 - x. 

Theo đề bài ta có phương trình:

Giải phương trình ta được x = 44 (nhận)

Vậy số học sinh lớp 9A là 44 em, 9B là 50 em.

Ví dụ 8: Một miếng hợp kim đồng và thiếc có khối lượng (kg) chứa 45% đồng nguyên chất. Hỏi phải thêm vào đó bao nhiêu thiếc nguyên chất để được hợp kim mới có chứa 40% đồng nguyên chất?

Giải:

Gọi khối lượng thiếc nguyên chất cần thêm vào là x (kg) (x > 0)

Khối lượng của miếng hợp kim sau khi thêm x kg thiếc nguyên chất là x + 12 (kg).

Vì trong 12 (kg) hợp kim chứa 45% đồng nguyên chất nên lượng đồng có trong đó là: (kg).

Vì sau khi thêm vào lượng đồng không đổi và chiếm 40% nên ta có phương trình:

(thỏa mãn điều kiện của ẩn).

Vậy cần thêm vào 1,5 (kg) thiếc nguyên chất để được hợp kim mới có chứa 40% đồng nguyên chất.

Giáo viên soạn: Mai Văn Tuấn

Đơn vị: Trường TH - THCS - THPT Lê Thánh Tông