Table of Contents
Lập bảng biến thiên hàm số là dạng bài tập trong giải tích và vẽ đồ thị, nó giúp xác định sự biến đổi của một hàm số trên một đoạn xác định, bao gồm định rõ các điểm cực trị, điểm uốn và các khoảng tăng hoặc giảm của hàm số. Đây là dạng toán chắc chắn sẽ gặp trong các bài kiểm tra, bài thi của môn Toán. Vì vậy, các học sinh không chỉ nắm vững lý thuyết mà còn cần vững phần thực hành, áp dụng vào các bài tập một cách thuần thục. Bài viết sau đây sẽ nêu lên ví dụ bài tập lập bảng biến thiên & khảo sát hàm số bất kì qua các bước cụ thể. Hãy cùng tìm hiểu và khám phá.
1. Khảo sát hàm số
Ví dụ 1: Khảo sát hàm số y = x3 + 3x2 – 4.
1.1. Tìm tập xác định
Tập xác định: D=R
1.2. Tìm nghiệm của hàm số
1.2.1. Cách giải phương trình bậc hai
Để tìm nghiệm của hàm số, cần nắm cách giải phương trình bậc hai như sau:
- Phương trình bậc hai là phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0
- Với a ≠0
- a,b,c là các hằng số
- x là ẩn số
- Cách giải phương trình bậc hai:
- Định lý Vi-et thuận về nghiệm của phương trình bậc 2
Hai số x1, x2 là nghiệm của phương trình ax2 + bx = c = 0 khi và chỉ khi
- Định lý Viet đảo về nghiệm của phương trình bậc 2
Nếu có 2 số u, v có u + v = S và u.v = P thì u và v là nghiệm của phương trình:
X2 – SX + P = 0.
1.2.2. Tìm nghiệm của hàm số theo hệ trục tọa độ: trục Ox, Oy
y’ = 3x2 + 6x
y’ = 0
⬄ 3x2 + 6x = 0
⬄ x(3x + 6) = 0
⬄ x = 0 và x = -2
Giao điểm với Ox: y = 0 => x = -2; x = 1
Giao điểm với Oy: x = 0 => y = -4
Giới hạn :
1.3. Bảng biến thiên
1.3.1. Lý thuyết về bảng biến thiên
- Định nghĩa: Kí hiệu K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn
- Hàm số f(x) được gọi là đồng biến trên K, nếu với mọi cặp x1, x2 ϵ K mà x1 < x2 thì f(x1) < f(x2)
- Hàm số f(x) được gọi là nghịch biến trên K, nếu với mọi cặp x1, x2 ϵ K mà x1 < x2 thì f(x1) > f(x2)
- Hàm số f(x) đồng biến (nghịch biến) trên K còn gọi là tăng (hay giảm ) trên K. Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K còn gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.
- Định lý
Cho hàm số y = f(x) xác định và có đạo hàm trên K
Định lý về dấu tam thức bậc hai
1.3.2. Lập bảng biến thiên để tìm các điểm của đồ thị hàm số
Điểm cực đại: x = -2, y = 0
Điểm cực tiểu: x = 0, y = -4
Đạo hàm cấp 2: y’’ = 6x + 6
y’’ = 0 ⬄ 6x + 6 = 0 ⬄ x=1
Điểm uốn I (1;-2)
Xem thêm: Sự biến thiên của hàm số & các dạng toán đặc trưng
2. Vẽ đồ thị hàm số
Từ ví dụ trên, ta vẽ được đồ thị hàm số như sau:
Trên đây là những bước giải bài tập lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số cụ thể nhất. Hy vọng bài viết đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích. Bạn có thể tìm hiểu về các kiến thức học tập khác trên VOH Giáo dục.