Sự biến thiên của hàm số & các dạng toán đặc trưng

Ở lớp 9 chúng ta đã được học về cách xét tính chất biến thiên của hàm số. Bài viết ở chương trình lớp 10 này sẽ nhắc lại cho các em kiến thức về sự biến thiên của hàm số và cách lập bảng biến thiên. Cùng với đó, bài viết sẽ giới thiệu tới các em học sinh một dạng toán rất quan trọng, đó là bài toán xét sự biến thiên của hàm số trên khoảng cho trước. Các em học sinh cùng tìm hiểu về phần kiến thức này nhé!

1. Xét sự biến thiên của hàm số

Cho hàm số y = f (x) xác định trên D = (a ; b). Khi đó, ta có:

+ Hàm số y = f (x) được gọi là đồng biến (tăng) trên D = (a ; b) nếu với mọi D = (a ; b) sao cho .

+ Hàm số y = f (x) được gọi là nghịch biến (giảm) trên D = (a ; b) nếu với mọi D = (a ; b) sao cho .

2. Bảng biến thiên

Xét sự biến thiên của một hàm số là ta đi tìm các khoảng đồng biến và các khoảng nghịch biến của hàm số đó. Khi đó, kết quả xét sự biến thiên được ta tổng kết lại trong một bảng, ta gọi đó là bảng biến thiên.

Ví dụ 1. Hình vẽ dưới đây minh họa bảng biến thiên của hàm số y = x².

Hàm số y = x² xác định trên khoảng (– ; + ).

Ta nói x dần tới + khi x > 0 và x nhận các giá trị lớn tùy ý.

Ta nói x dần tới –  khi x < 0 và |x| nhận các giá trị lớn tùy ý.

Khi x dần tới –  hay x dần tới + thì y đều dần tới + .

Khi x = 0 thì y = 0.

Nhận xét bảng biến thiên:

+ Hàm số y = x² nghịch biến trên khoảng (– ; 0) được miêu tả bằng cách vẽ một mũi tên đi xuống.

+ Hàm số y = x² đồng biến trên khoảng (0 ; + ) được miêu tả bằng cách vẽ một mũi tên đi lên.

+ Dựa vào bảng biến thiên, ta có thể đoán được đồ thị hàm số đi xuống trong khoảng nào và đi lên trong khoảng nào.

» Xem thêm:

• Cách xét tính chẵn lẻ của hàm số chi tiết, chuẩn xác nhất
• Cách tìm tập xác định của hàm số chuẩn xác nhất

3. Một số dạng toán về sự biến thiên của hàm số

3.1. Dạng 1: Bài toán xét sự biến thiên của hàm số trên khoảng cho trước

*Phương pháp giải:

Cách 1: Cho hàm số y = f (x) xác định trên D. Với mọi , tính

+ Hàm số y = f (x) đồng biến trên D nếu H > 0.

+ Hàm số y = f (x) nghịch biến trên D nếu H < 0.

Cách 2: Cho hàm số y = f (x) xác định trên D. Với mọi D và , đặt

+ Hàm số y = f (x) đồng biến trên D nếu H > 0.

+ Hàm số y = f (x) nghịch biến trên D nếu H < 0.

Bài 1. Em hãy xét tính đồng biến và tính nghịch biến của hàm số y = 7 – 2x trên tập số thực R.

Bài 2. Em hãy xét tính đồng biến và tính nghịch biến của hàm số trên khoảng (– ; – 3) và trên khoảng (– 3 ; + ).

Bài 3. Em hãy xét tính đồng biến và tính nghịch biến của hàm số trên khoảng (– ; 5) và trên khoảng (5 ; + ).

3.2. Dạng 2: Giải phương trình f(x) = 0

*Phương pháp giải:

(1) Phương trình f (x) = 0 có nhiều nhất một nghiệm nếu hàm số y = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D.

(2) Nếu hàm số y = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D, với mọi x, y thuộc D ta được:

+ f (x) > f (y) khi và chỉ khi x > y (hoặc x < y).

+ f (x) = f (y) khi và chỉ khi x = y.

Bài 4. Em hãy xét sự biến thiên của hàm số trên tập xác định của nó và tìm nghiệm của phương trình .

Bài 5. Em hãy xét sự biến thiên của hàm số trên tập số thực  và tìm nghiệm của phương trình .

Bài viết đã nhắc lại cho các em kiến thức về sự biến thiên của hàm số cùng với đó, VOH Giáo Dục đã giới thiệu tới các em học sinh một dạng toán rất quan trọng, đó là bài toán xét sự biến thiên của hàm số trên khoảng cho trước. Hy vọng bài viết sẽ giúp các em học bài hiệu quả hơn.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang