Cách tìm điều kiện để hai vectơ cùng phương cực đơn giản

Vectơ là một nội dung quan trọng trong chương trình môn Toán lớp 10. Bên cạnh các khái niệm thường gặp như Vectơ là gì? Các đặc điểm của vectơ ra sao? Thì những nội dung như hai vectơ cùng phương khi nào? Điều kiện để hai vectơ cùng phương? cũng là những nội dung thường xuyên xuất hiện trong bài học. Vậy, để hiểu rõ hơn những nội dung nói trên. Chúng ta hãy cùng VOH Giáo Dục tìm hiểu bài viết sau đây.

1. Nhắc lại một số khái niệm

• Đường thẳng không bị giới hạn về hai phía

Ví dụ: Đường thẳng AB là đường thẳng đi qua hai điểm A và B nhưng không bị giới hạn bởi hai đầu mút

• Đoạn thẳng bị giới hạn về hai phía

Ví dụ: Đoạn thẳng AB là đoạn thẳng có hai đầu mút là điểm A và điểm B.

• Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, trong hai đầu mút của đoạn thẳng đã chỉ rõ đâu là điểm đầu, đâu là điểm cuối.

Ví dụ: Vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B được kí hiệu là  . Vectơ này có hướng từ A đến B. Đôi khi để thuận tiện, ta có thể kí hiệu bằng chữ in thường có mũi tên phía trên như  , , ...

• Vectơ - không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Kí hiệu:
• Nếu thì đường thẳng AB được gọi là giá của  . Hay nói cách khác, giá của    là đường thẳng đi qua hai điểm A và B

2. Điều kiện để hai vectơ cùng phương

• Hai vectơ cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau

Ví dụ: Trong hình chữ nhật ABCD, ta có: AB // DC nên là hai vectơ cùng phương

• Hai vectơ cùng phương với nhau thì chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng

Ví dụ: Trong hình chữ nhật ABCD có  là hai vectơ cùng phương cùng hướng. Còn là hai vectơ cùng phương ngược hướng.

3. Các dạng bài toán liên quan đến điều kiện để hai vectơ cùng phương

3.1. Hai vectơ cùng phương khi hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau

Ví dụ: Cho hình thang ABCD (AB // CD), có CD = 2.AB. Gọi Q là trung điểm của CD. Hỏi có phải là hai vectơ cùng phương hay không?

Giải

• Ta có: AB // CD (gt), mà Q CD AB // DQ      (1)
• Vì CD = 2.AB AB =

Mà Q là trung điểm của CD nên DQ = QC =

 AB = DQ        (2)

Từ (1) và (2) ABQD là hình bình hành

 AD // BQ

Vậy  là hai vectơ cùng phương

3.2. Hai vectơ cùng phương khi tồn tại một số k khác 0 sao cho vectơ này bằng k lần vectơ kia

• Hai vectơ  ,   cùng phương  
• Nếu k > 0 thì    và    là hai vectơ cùng phương cùng hướng
• Nếu k < 0 thì    và    là hai vectơ cùng phương ngược hướng

Ví dụ 1: Cho = (3;5) và = (6;10). Hỏi và có phải là hai vectơ cùng phương không? Tại sao?

Giải

Ta có: = (6; 10) = 2.(3; 5) = 2.

Vậy  và là hai vectơ cùng phương

Ví dụ 2: Cho = (2; 1) và = (-6; m). Với giá trị nào của m thì     và    là hai vectơ cùng phương?

Giải

  và   là hai vectơ cùng phương

 (-6; m) = k.(2; 1)

Vậy, với m = -3 thì    và    là hai vectơ cùng phương

Ví dụ 3: Cho   = (2; -3);   = (1; 2);   = (2; -24). Hãy tính    và cho biết    và    có phải là hai vectơ cùng phương hay không? Tại sao?

Giải

• Ta có: 2  = 2.(2; -3) = (4; -6)

 Và 3  = 3.(1; 2) = (3; 6)

Nên 2  - 3  = (4 - 3; -6 - 6) = (1; -12)

Vậy,   = (1; -12)

• Ta có:   = (2; -24) = 2.(1; -12) = 2.

Vậy   và    là hai vectơ cùng phương

Ví dụ 4: Cho = (-1; 3);   = (2; a). Hãy tìm tọa độ của    biết    và    cùng phương với   = (-2; 1) 

Giải

• Theo đề bài:

Ta có: 3.  = 3.(2; a) = (6; 3a)

Và 2.  = 2.(-1; 3) = (-2; 6)

Nên    = 3.  - 2.  = (8; 3a - 6)

• Lại có    và    là hai vectơ cùng phương nên   k 0 : = k.

Khi đó, = (8; 3. - 6) = (8; -4)

Vậy, để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì   = (8; -4)

4. Bài tập vận dụng điều kiện để hai vectơ cùng phương

Bài 1: Cho tam giác ABC. Khi đó

1.  và là hai vectơ cùng phương
2.  và là hai vectơ cùng phương
3.  và là hai vectơ cùng phương
4. A, B, C đều sai

Bài 2: Cho các vectơ sau   = (2; -5); = (3; 1); = (-6; -2). Trong các phát biểu sau, phát biểu đúng là

1.   và    là hai vectơ cùng phương
2.   và    là hai vectơ cùng phương
3.   và    là hai vectơ cùng phương
4. A, B, C đều sai

Bài 3: Cho hình thang ABCD với AB và CD là hai đáy. Trong các phát biểu sau, phát biểu sai là

1.  và là hai vectơ cùng phương
2.  và  là hai vectơ cùng phương ngược hướng
3.  và  là hai vectơ cùng phương
4.  và là hai vectơ cùng phương ngược hướng

Bài 4: Cho hai vectơ sau   = (x; -2); = (3; 1). Hỏi với giá trị nào của x thì    và    là hai vectơ cùng phương khi

1. x = 6
2. x = -6
3. x = -4
4. Chưa thể kết luận về giá trị của x

Bài 5: Cho tam giác ABC. M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Khi đó cùng phương với 

Bài 6: Cho   = (2; -3);   = (1; -2);   = (3; 2);   = (3; -4). Hãy cho biết khi đó  

1. Cùng phương, cùng hướng với  
2. Cùng phương, ngược hướng với  
3. Cùng phương, cùng hướng với  
4. Cùng phương, ngược hướng với  

Bài 7: Nếu    và    với k 0; h 0. Khi đó,    và    là

1. Hai vectơ cùng phương và  
2. Hai vectơ cùng phương và  
3. Hai vectơ không cùng phương
4. Hai vectơ cùng phương và  

Bài 8: Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Khi đó

1.  và    là hai vectơ cùng phương
2.  và    là hai vectơ cùng phương
3.  và    là hai vectơ cùng phương
4.  và    là hai vectơ cùng phương

Trên đây là một số nội dung kiến thức về điều kiện để hai vectơ cùng phương và một số bài tập liên quan. Hy vọng các em có thể nắm bắt để vận dụng vào việc giải quyết các bài toán liên quan.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang