Hiệu 2 vectơ: Định nghĩa, cách tính & bài tập ứng dụng

Chuyên đề trước ta đã được tìm hiểu về khái niệm tổng của hai vectơ và phép toán tìm tổng của hai vectơ. Vậy hiệu 2 vectơ là gì? Phép toán tính hiệu 2 vectơ được xác định như thế nào? Bài viết này VOH Giáo Dục sẽ giới thiệu cho các bạn học sinh khái niệm hiệu 2 vectơ và phép toán tìm hiệu 2 vectơ, đồng thời tổng hợp một số dạng bài tập hay có lời giải cụ thể, hãy cùng tìm hiểu phần kiến thức này nha!

1. Hiệu 2 vectơ là gì?

1.1. Vectơ đối

Cho vectơ . Vectơ mà ta gọi là vectơ đối của vectơ chính là vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ , ta kí hiệu là .

Nhận xét:

(1) Vectơ đối của vectơ là vectơ .

(2) Mọi vectơ đều có vectơ đối, ví dụ vectơ đối của vectơ là vectơ , có nghĩa là .

Ví dụ 1. Hình bình hành HKST được minh họa như hình vẽ dưới đây:

Từ hình vẽ trên ta có: và .

1.2. Định nghĩa hiệu 2 vectơ

Cho vectơ và vectơ . Ta gọi vectơ chính là hiệu của hai vectơ và . Ta kí hiệu là .

Nhận xét:

(1) .

(2) Theo định nghĩa hiệu 2 vectơ ta được: Cho 3 điểm O, M, N tuỳ ý, ta có: .

Chú ý:

• Phép trừ vectơ chính là phép toán tìm hiệu 2 vectơ.
• Cho 3 điểm M, N, P tuỳ ý, khi đó từ phép cộng vectơ ta suy ra:

(quy tắc ba điểm);

(quy tắc trừ).

Ví dụ 2. Cho M, N, P, Q là các điểm bất kỳ nào đó. Chứng minh rằng: .

Lời giải

Ta lấy một điểm I bất kỳ, khi đó ta có:

VT = (theo quy tắc trừ)

                          = (theo quy tắc trừ)

                          = = VP.

Ta được điều phải chứng minh.

2. Các tính chất về trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác

• Với I là trung điểm của đoạn thẳng MN thì ta có và ngược lại.
• Với G là trọng tâm của tam giác MNP thì ta có và ngược lại.

Ví dụ 3. Hình bình hành HKST với X là giao điểm của hai đường chéo HS và KT được minh họa như hình vẽ dưới đây:

Từ hình vẽ trên ta có:

Vì X là giao điểm của hai đường chéo HS và KT của hình bình hành HKST, suy ra X là trung điểm của hai đoạn thẳng HS và KT. Khi đó ta có và .

3. Một số dạng bài tập tính hiệu 2 vectơ

3.1. Dạng 1: Tính độ dài của hiệu 2 vectơ

* Phương pháp giải:

Muốn tính độ dài của hiệu 2 vectơ, trước tiên ta thực hiện biến đổi phép trừ vectơ đã cho trở thành một vectơ cụ thể nào đó, rồi ta tiếp tục tìm độ dài vectơ đó, khi đó ta được độ dài của hiệu 2 vectơ.

Bài tập vận dụng:

Bài 1. Cho hình thoi MNPQ có I là giao điểm của hai đường chéo MP và NQ. Biết độ dài của 2 đường chéo MP và NQ là: MP = 6 (đvđd) và NQ = 8 (đvđd). Em hãy tính độ dài của vectơ .

Bài 2. Cho lục giác đều MNPQST có điểm I là giao điểm của ba đường chéo chính MQ, NS và PT. Biết các cạnh của lục giác đều MNPQST có độ dài bằng 1,5 cm. Em hãy tính độ dài của 2 vectơ và .

Bài 3. Cho hình chữ nhật MNPQ ( MN > NP) có điểm I là giao điểm của hai đường chéo MP, NQ và F là trung điểm của MQ. Biết MN = QP = 2a. Em hãy tính độ dài của  vectơ .

3.2. Dạng 2: Bài toán chứng minh đẳng thức vectơ

* Phương pháp giải:

Muốn chứng minh một đẳng thức vectơ nào đó, ta sử dụng các quy tắc đã học như quy tắc hình bình hành, quy tắc ba điểm, quy tắc trừ và các tính chất về trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác để thực hiện chứng minh đẳng thức vectơ đã cho đó.

Bài tập vận dụng:

Bài 4. Cho hình bình hành HKST với X là giao điểm của hai đường chéo HS và KT. Em hãy chứng minh rằng: .

Bài 5. Cho M, N, P, Q là các điểm bất kỳ nào đó. Chứng minh rằng: .

Bài 6. Cho lục giác đều MNPQST có điểm I là giao điểm của ba đường chéo chính MQ, NS và PT. Em hãy chứng minh rằng:

a) ;

b) .

Bài viết trên đây đã giới thiệu cho các bạn học sinh khái niệm hiệu 2 vectơ và phép toán tìm hiệu của hai vectơ. Đồng thời tổng hợp một số dạng bài tập hay có lời giải cụ thể, chi tiết. Mong rằng, dựa vào bài viết các bạn học sinh có thể giải quyết các bài toán liên quan đến chủ đề này một cách thành thạo.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang