Độ dài đại số của vectơ: Cách tính và áp dụng trong các bài toán vectơ

Vectơ là một nội dung quan trọng được đề cập nhiều trong chương trình môn Toán lớp 10 phần Hình học. Bài viết sau đây nhằm giới thiệu cho chúng ta biết độ dài đại số của vectơ là gì? Làm thế nào để xác định được độ dài đại số của vectơ? Có thể vận dụng độ dài đại số của vectơ để quyết các bài tập như thế nào? Để hiểu rõ hơn về các vấn đề nêu trên, chúng ta hãy cùng đi vào tìm hiểu bài viết sau đây.

1. Định nghĩa độ dài đại số của vectơ

• Mỗi vectơ đều có một độ dài đại số xác định (hay còn gọi tắt là độ dài)
• Độ dài đại số của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.
• Độ dài đại số của vectơ  được kí hiệu là ||

2. Cách xác định độ dài đại số của vectơ

2.1. Xác định độ dài đại số của vectơ khi biết tọa độ của vectơ

Lý thuyết: Giả sử vectơ = (a₁; a₂). Khi đó, độ dài đại số của vectơ được xác định bởi công thức:

Ví dụ: Cho vectơ = (2; -1). Tìm độ dài đại số của vectơ ?

Giải

Độ dài đại số của vectơ là:

2.2. Xác định độ dài đại số của vectơ khi biết tọa độ điểm đầu và điểm cuối của vectơ

Lý thuyết: Giả sử A(x_A; y_A), B(x_B; y_B).

+ Xác định tọa độ của vectơ

+ Độ dài đại số của vectơ được xác định bởi công thức:

Ví dụ: Cho A(1; -2), B(2; 3).

a. Tìm độ dài đại số của vectơ

b. Tìm độ dài đại số của vectơ .Có nhận xét gì về hai vectơ và ?

Giải

a. Ta có: = (2 - 1; 3 + 2) = (1; 5)

Độ dài đại số của vectơ là:

b. Ta có: = (1 - 2; -2 - 3) = (-1; -5)

Độ dài đại số của vectơ là:

Nhận xét: Hai vectơ và là hai vectơ đối nhau và có cùng độ dài đại số

3. Bài tập áp dụng về độ dài đại số của vectơ

3.1. Bài tập tự luận

Bài 1: Biết M là một điểm có tọa độ trong đó tung độ gấp 2 lần hoành độ và N(0; 1). Tìm tọa độ của điểm M biết độ dài đại số của vectơ bằng

Bài 2: Cho A(a; 2), B(1; 1), = (1; -3). Tìm tọa độ điểm A biết độ dài đại số của vectơ bằng độ dài đại số của vectơ

3.2. Bài tập trắc nghiệm

Bài 3: Cho = (3; 4), = (5; 2). Trong các phát biểu sau, phát biểu đúng là:

1. Độ dài đại số của vectơ lớn hơn độ dài đại số của vectơ
2. Độ dài đại số của vectơ nhỏ hơn độ dài đại số của vectơ
3. Độ dài đại số của vectơ bằng độ dài đại số của vectơ
4. A, B, C đều sai

Bài 4: Độ dài đại số của một vectơ là:

1. Là một số lớn hơn 0
2. Là một số bé hơn 0
3. Là một số lớn hơn hoặc bằng 0
4. Là một số bé hơn hoặc bằng 0

Bài 5: Cho = (0; 2), = (1; -1), = (2; 1), = (3; 0). Thứ tự các vectơ có độ dài đại số tăng dần là:

Bài 6: Cho A(2; 0), B(1; b). Biết độ dài đại số của vectơ bằng . Khi đó, có mấy điểm B thỏa mãn bài toán vừa nêu?

1. Có duy nhất một điểm B
2. Có hai điểm B
3. Có vô số điểm B
4. Không có điểm B nào thỏa mãn bài toán

Bài 7: Cho A(1; 2), B(0; 1), C(-2; 3), D(2; 0). Trong các phát biểu sau, phát biểu sai là:

1. Độ dài đại số của vectơ gấp 2 lần độ dài đại số của vectơ
2. Độ dài đại số của vectơ bằng độ dài đại số của vectơ
3. Độ dài đại số của vectơ lớn hơn độ dài đại số của vectơ
4. Độ dài đại số của vectơ lớn hơn độ dài đại số của vectơ

Bài 8: Cho các phát biểu sau:

(1) Mỗi vectơ chỉ xác định được một độ dài đại số tương ứng

(2) Các vectơ khác nhau luôn có độ dài đại số khác nhau

(3) Các vectơ khác nhau có thể có độ dài đại số giống nhau

(4) Mỗi vectơ xác định được nhiều độ dài đại số tương ứng

Trong các phát biểu trên, phát biểu đúng là:

1. (1), (2)
2. (1), (3)
3. (3), (4)
4. (2), (4)

Mong rằng thông qua bài viết, các em có thể ghi nhớ công thức tính độ dài đại số của vectơ cũng như vận dụng để xử lí nhiều bài tập liên quan hơn nữa.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang