Table of Contents
Ở những bài học trước, các bạn đã được học về vecto và phép cộng các vecto. Trong bài học hôm nay, các bạn sẽ tìm hiểu về một kiến thức liên quan rất mật thiết với phép cộng vecto: Quy tắc 3 điểm. Vậy quy tắc 3 điểm là gì? Cùng VOH Giáo Dục tìm hiểu trong bài học hôm nay nhé!
1. Quy tắc 3 điểm là gì?
Định nghĩa phép cộng hai vecto:
Cho hai vecto
Từ định nghĩa trên, ta suy ra được quy tắc 3 điểm như sau.
Quy tắc 3 điểm trong vecto:
Cho 3 điểm A, B, C bất kỳ, ta có:
Ảnh minh họa quy tắc 3 điểm:
2. Các trường hợp áp dụng quy tắc 3 điểm
- Áp dụng quy tắc 3 điểm để tính tổng các vecto: Ta áp dụng được quy tắc 3 điểm khi điểm cuối của vecto này trùng với điểm đầu của vecto kia. Trường hợp 2 vecto không có điểm cuối và điểm đầu trùng nhau, ta xem xét tìm một vecto khác bằng với một trong hai vecto sao cho vecto đó có điểm cuối và điểm đầu trùng nhau với vecto còn lại.
- Áp dụng quy tắc 3 điểm để tách một vecto thành hai hay nhiều vecto: Ta có thể chèn thêm điểm bất kì để viết một vecto thành tổng của hai hay nhiều vecto.
» Xem thêm: Quy tắc hình bình hành vecto & bài tập vận dụng
3. Ví dụ minh họa về quy tắc 3 điểm
Xem một số ví dụ sau để hiểu rõ hơn về cách áp dụng quy tắc 3 điểm.
Ví dụ 1: Cho bốn điểm A, B, C, D. Hãy tính tổng các vecto
Vì phép cộng vecto có tính chất kết hợp nên ta được:
Vecto AB có điểm cuối trùng với điểm đầu của vecto BC, ta áp dụng quy tắc 3 điểm đối với hai vecto đó:
Vecto AC có điểm cuối trùng với điểm đầu của vecto CD, ta áp dụng quy tắc 3 điểm đối với hai vecto đó:
Vậy là ta có kết quả là
Ví dụ 2: Cho bốn điểm M, N, P, Q. Hãy tính tổng các vecto
Vì phép cộng vecto có tính chất kết hợp nên ta được:
Vecto MN có điểm cuối trùng với điểm đầu của vecto NP, ta áp dụng quy tắc 3 điểm đối với hai vecto đó:
Vecto MP có điểm cuối trùng với điểm đầu của vecto PQ, ta áp dụng quy tắc 3 điểm đối với hai vecto đó:
Vậy là ta có kết quả là
Ví dụ 3: Cho bốn điểm A, B, C, D, E. Hãy tính tổng các vecto
Vì phép cộng vecto có tính chất kết hợp nên ta được:
Vecto AD có điểm cuối trùng với điểm đầu của vecto DE, vecto EC có điểm cuối trùng với điểm đầu của vecto CB, ta áp dụng quy tắc 3 điểm đối với hai vecto đó:
Vecto AE có điểm cuối trùng với điểm đầu của vecto EB, ta áp dụng quy tắc 3 điểm đối với hai vecto đó:
Vậy là ta có kết quả là
Ví dụ 4: Cho bốn điểm M, N, P, Q. Hãy tính tổng các vecto
Vì phép cộng vecto có tính chất kết hợp nên ta được:
Vecto MP có điểm cuối trùng với điểm đầu của vecto PN, Vecto NM có điểm cuối trùng với điểm đầu của vecto MQ, ta áp dụng quy tắc 3 điểm đối với hai vecto đó:
Vecto MN có điểm cuối trùng với điểm đầu của vecto NQ, ta áp dụng quy tắc 3 điểm đối với hai vecto đó:
Vậy là ta có kết quả là
Ví dụ 5: Cho bốn điểm A, B, C, D, E. Hãy tính tổng các vecto
Vì phép cộng vecto có tính chất kết hợp nên ta được:
Vecto AE có điểm cuối trùng với điểm đầu của vecto ED, Vecto BC có điểm cuối trùng với điểm đầu của vecto CE ta áp dụng quy tắc 3 điểm đối với hai vecto đó:
Vì phép cộng vecto có tính chất kết hợp nên ta được:
Vecto AD có điểm cuối trùng với điểm đầu của vecto DB, ta áp dụng quy tắc 3 điểm đối với hai vecto đó:
Vecto AB có điểm cuối trùng với điểm đầu của vecto BE, ta áp dụng quy tắc 3 điểm đối với hai vecto đó:
Vậy là ta có kết quả là
Lưu ý: Các vecto có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau là vecto không. Chẳng hạn như:
4. Bài tập áp dụng quy tắc 3 điểm lớp 10
Bài 1: Cho các điểm M, N, P, Q, R. Tính tổng các vecto
ĐÁP ÁN
Vì phép cộng vecto có tính chất kết hợp nên ta được:
Vecto MR có điểm cuối trùng với điểm đầu của vecto RQ, vecto NP có điểm cuối trùng với điểm đầu của vecto PR ta áp dụng quy tắc 3 điểm đối với các vecto đó:
Vì phép cộng vecto có tính chất kết hợp nên ta được:
Vecto MQ có điểm cuối trùng với điểm đầu của vecto QN, ta áp dụng quy tắc 3 điểm đối với hai vecto đó:
Vecto MN có điểm cuối trùng với điểm đầu của vecto NR, ta áp dụng quy tắc 3 điểm đối với hai vecto đó:
Vậy là ta có kết quả là
...
Bài 2: Cho các điểm M, N, P, Q, R. Tính tổng các vecto
ĐÁP ÁN
Vì phép cộng vecto có tính chất kết hợp nên ta được:
Vecto CB có điểm cuối trùng với điểm đầu của vecto AB, Vecto AE có điểm cuối trùng với điểm đầu của vecto ED ta áp dụng quy tắc 3 điểm đối với hai vecto đó:
Vì phép cộng vecto có tính chất kết hợp nên ta được:
Vecto AD có điểm cuối trùng với điểm đầu của vecto DA, ta áp dụng quy tắc 3 điểm đối với hai vecto đó:
Vậy là ta có kết quả là
Bài 3: Chứng minh đẳng thức sau
ĐÁP ÁN
Muốn chứng minh đẳng thức, ta biến đổi vế trái (VT) về giống vế phải (VP) hoặc ngược lại. Ở bài này, ta thấy vế trái (VT) phức tạp hơn, nên ta chọn biến đổi vế trái (VT).
Ta chèn thêm điểm A vào vecto CD để tách vecto CD thành tổng hai vecto:
Vì phép cộng vecto có tính chất kết hợp nên ta được:
Vecto CA có điểm cuối trùng với điểm đầu của vecto AB, ta áp dụng quy tắc 3 điểm đối với hai vecto đó:
Vì phép cộng vecto có tính chất kết hợp nên ta được:
Vecto CB có điểm cuối trùng với điểm đầu của vecto CD, ta áp dụng quy tắc 3 điểm đối với hai vecto đó:
Vậy ta đã chứng minh được đẳng thức.
Bài 4: Chứng minh đẳng thức sau
ĐÁP ÁN
Ở bài này, ta chứng minh đẳng thức bằng cách biến đổi tương đương.
Áp dụng quy tắc 3 điểm đối với cả hai vế, ta được:
Vậy ta đã chứng minh được đẳng thức trên.
Bài 5: Cho hình bình hành ABCD, M là trung điểm của đường chéo AC. Áp dụng quy tắc 3 điểm hãy tính tổng 2 vecto DA và MC.
ĐÁP ÁN
Vì vecto MC và vecto AM là bằng nhau, ta thay vecto MC bằng vecto AM.
Áp dụng quy tắc 3 điểm, ta được:
Vậy ta có kết quả là
...
Vậy là chúng ta đã học xong về quy tắc 3 điểm, cũng như hiểu được cách sử dụng quy tắc 3 điểm trong việc tính toán với vecto. Hy vọng những kiến thức trong bài học này sẽ giúp ích cho các bạn học sinh trong các bài học tiếp theo.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang