Table of Contents
Chỉnh hợp là gì? Dấu hiệu nhận biết bài toán dùng công thức chỉnh hợp? Các bạn cùng VOH Giáo Dục tìm hiểu định nghĩa, công thức tính và các bài tập thường gặp về chỉnh hợp trong bài viết dưới đây.
1. Chỉnh hợp là gì?
* Định nghĩa: (Chỉnh hợp không lặp)
Cho tập B gồm n phần tử .
Kết quả của việc lấy k (1≤ k ≤ n) phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp B và sắp xếp chúng theo một thứ tự tuỳ ý được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.
* Kí hiệu là Akn
* Mô hình: n phần tử → lấy k phần tử (1≤ k ≤ n) → sắp xếp k phần tử theo theo thứ tự → Akn
* Mối liên hệ giữa hoán vị và chỉnh hợp: Từ định nghĩa trên, ta suy ra một hoán vị của tập hợp B có n phần tử là một chỉnh hợp chập n của n phần tử của tập hợp B.
» Xem thêm:
2. Công thức tính chỉnh hợp
Akn = n(n-1)(n-2)....(n-k+1) =
*Chứng minh
Việc thiết lập một chỉnh hợp chập k của tập A có n phần tử là một công việc gồm k bước thực hiện.
+ Bước 1: Chọn phần tử xếp vào vị trí thứ nhất có n cách thực hiện.
+ Bước 2: Chọn phần tử xếp vào vị trí thứ hai có n-1 cách thực hiện.
...
Sau khi thực hiện xong i-1 bước (chọn i-1 phần tử của A vào các vị trí thứ 1, 2,., i-1), bước thực hiện thứ i tiếp theo là chọn phần tử xếp vào vị trí thứ i có n-i+1 cách thực hiện.
+ Bước cuối, bước thực hiện thứ k có n-k+1 cách thực hiện.
Các bước thực hiện trên liên tiếp nhau nên theo quy tắc nhân thì có n(n-1)(n-2)....(n-k+1) = chỉnh hợp chập k của tập A có n phần tử.
Đặc biệt: Nếu k = n thì Ann = Pn = n!
3. Cách bấm máy tính chỉnh hợp
Cách bấm Akn ta bấm lần lượt các bước như sau: n → Shift → dấu nhân " x " → k → dấu " = ".
Ví dụ: Dùng máy tính, tính các chỉnh hợp sau:
a) A37
b) A1012
Cách bấm:
a) 7 → Shift → dấu nhân " x " → 3 → dấu " = "
Ta được kết quả: A37 = 210
b) 12 → Shift → dấu nhân " x " → 10 → dấu " = "
Ta được kết quả: A1012 = 239500800.
4. Chỉnh hợp lặp
Cho tập hợp B gồm m phần tử. Mỗi dãy gồm k phần tử của tập hợp B, trong đó mỗi phần tử có thể lặp lại nhiều lần, được sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của m phần tử của tập hợp B.
* Công thức
5. Các dạng bài tập thường gặp về chỉnh hợp
5.1. Dạng 1: Rút gọn biểu thức chứa chỉnh hợp
* Phương pháp giải:
Áp dụng các công thức chỉnh hợp và hoán vị ở bài trước. Ta biến đổi rồi rút gọn dần.
Bài tập ứng dụng:
Câu 1: Rút gọn các biểu thức sau:
a) C =
b) D = A56 + P5.A34
c) E = A26 - 7.P6 + 3.A57
d) F =
ĐÁP ÁN
a) C =
=
=
=
b) D = A56 + P5.A34
= 6.5.4.3.2 + 5!.4.3.2
= 720 + 2880
= 3600
c) E = A26 - 7.P6 + 3.A57
= 6.5 - 7.6! + 3.7.6.5.4.3
= 30 - 5040 + 7560
= 2550
d) F =
=
=
=
=
=
=
=
5.2. Dạng 2: Chứng minh các đẳng thức chứa chỉnh hợp
* Phương pháp giải:
Áp dụng các công thức chỉnh hợp và hoán vị ở bài trước. Ta biến đổi vế trái bằng vế phải hoặc ngược lại. Thường thì ta biến đổi vế phức tạp về đơn giản hơn.
Bài tập ứng dụng:
Câu 2: Chứng minh đẳng thức sau:
ĐÁP ÁN
Ta có: VT =
=
=
= (n+k)!.
= (n+k)!.
= (n+k)!.
= (n+k)!.
= (k+1).
= (k+1).
5.3. Dạng 3: Giải bất phương trình, phương trình chứa chỉnh hợp
Bài tập ứng dụng:
Câu 3: Giải các phương trình sau:
a) A2n = 2
b) A2n + 5.A3n = 0
ĐÁP ÁN
a) A2n = 2 (n ≥ 2)
⇔
⇔
⇔ n(n-1) = 2
⇔ n2 - n - 2 = 0
⇔ n2 - 2n + n - 2 = 0
⇔ n(n-2) + (n-2) = 0
⇔ (n-2)(n+1) = 0
⇔ n - 2 = 0 hoặc n + 1 = 0
⇔ n = 2 (nhận) hoặc n = -1 (loại)
Vậy phương trình có nghiệm là n = 2.
b) A2n + 5.A3n = 0 (n ≥ 3)
⇔
⇔
⇔ n(n-1) + 5.n(n-1)(n-2) = 0
⇔ n2 - n + 5n.(n2 - 3n + 2) = 0
⇔ n2 - n + 5n3 - 15n2 + 10n = 0
⇔ 5n3 - 14n2 + 9n = 0
⇔
Vậy phương trình vô nghiệm.
Câu 4: Giải các bất phương trình sau:
a) A4n < n.A3n
b)
ĐÁP ÁN
a) A4n < n.A3n (n ≥ 4)
⇔
⇔
⇔ n(n-1)(n-2)(n-3) < n.n(n-1)(n-2)
⇔ (n2-n)(n2-5n+6) < n2.(n2-3n+2)
⇔ n4 - 5n3 + 6n2 - n3 + 5n2 - 6n < n4 - 3n3 + 2n2
⇔ -3n3 + 9n2 - 6n < 0
⇔ 0 < n < 1 hoặc x > 2
So sánh với điều kiện n ≥ 4.
Vậy nghiệm của bất phương trình là x ≥ 4.
b)
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔ n(n-1) - 2 > 0 ( vì n! > 0)
⇔ n2 - n - 2 > 0
⇔ n < -1 hoặc n > 2
So sánh với điều kiện n ≥ 2
Vậy bất phương trình có nghiệm là n > 2.
5.4. Dạng 4: Các bài toán tổng hợp về chỉnh hợp
Bài tập ứng dụng:
Câu 5: Trong một cuộc thi chạy 100m do một trường A tổ chức, có 20 thí sinh tham gia. Hỏi có thể chọn được mấy bộ "Nhất-Nhì-Ba"?
A. 6840 bộ
B. 1140
C. (20-3)!
D. 20!
ĐÁP ÁN
Chọn ra 3 thí sinh trong 20 thí sinh và sắp xếp theo thứ tự "Nhất-Nhì-Ba" là một chỉnh hợp chập 3 của 20. Do đó, số bộ "Nhất-Nhì-Ba" là A320 = 6840 (bộ).
Chọn đáp án A.
Câu 6: Từ các số 1;2;3;4;5;6;7, lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau?
A. 21 số
B. 2520 số
C. 720 số
D. 5040 số
ĐÁP ÁN
Lấy 5 chữ số khác nhau trong 7 chữ số trên là một chỉnh hợp chập 5 của 7.
Ta được A57 = 2520 (số).
Chọn đáp án B.
Câu 7: Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số mà chữ số đầu và chữ số cuối giống nhau?
A. A710
B. C710
C. 9.105 số
D. 7!
ĐÁP ÁN
Hướng dẫn giải: Ta thực hiện việc chọn chữ số đầu và chữ số cuỗi trước. Sau đó ta chọn 5 chữ số còn lại, áp dụng chỉnh hợp lặp.
Gọi số có 7 chữ số là
+Bước 1: Chọn a1 và a7 có: 9 cách
+Bước 2: Chọn 5 số còn lại có:
Vậy có 9.105 số.
Chọn đáp án C.
Trên đây là toàn bộ kiến thức về định nghĩa, công thức và các dạng toán từ đơn giản đến phức tập về chỉnh hợp. Chúc các bạn nắm chắc được nội dung và các phương pháp làm bài để vượt qua các bài kiểm tra một cách dễ dàng.
Biện soạn và chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang