Table of Contents
Hoán vị là một trong những nội dung quan trọng trong Toán 11 Chương 2: Tổ hợp và xác suất. Hoán vị là gì? Khi nào thì sử dụng hoán vị? Trong bài viết dưới đây, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về lý thuyết hoán vị và các bài tập áp dụng.
1. Định nghĩa và công thức hoán vị
1.1. Giai thừa
| n! = n(n-1)(n-2) ...3.2.1. |
Ví dụ: 3! = 3.2.1 = 6
5! = 5.4.3.2.1 = 120
10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 3628800
* Cách bấm máy tính n giai thừa " n! ":
Ta nhập: n → shift → x-1 → =
Ví dụ: Bấm máy 6! như sau: 6 → shift → x-1 → = ta được 6! = 720
Lưu ý: Ta có thể dừng dấu giai thừa ở vị trí lùi nào tuỳ ý. Chẳng hạn, 9! = 9.8! = 9.8.7.6! = 9.8.7.6.5.4.3.2.1.
* Một số công thức mở rộng:
n! = n(n-1)! = n(n-1)(n-2)! = ...
= (q+1)(q+2) ...n (n ≥ q)
= (n - q + 1)(n - q + 2) ...n Quy ước: 0! = 1, 1! = 1, n ∈
Ví dụ: Rút gọn các biểu thức sau:
a)
b)
Giải
a) Ta áp dụng công thức
b) Ta áp dụng công thức
1.2. Hoán vị (không lặp)
* Định nghĩa
Cho tập hợp B gồm n phần tử (n ≥ 1). Từng kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp B gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
* Mô hình: Có n phần tử khác nhau → lấy cả n phần tử → thay đổi vị trí theo một thứ tự nhất định
→ Số cách thay đổi gọi là hoán vị của n phần tử.
* Kí hiệu của hoán vị n phần tử là Pn = n! = n(n-1)(n-2)...1.
Chứng minh
Việc sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp B là một công việc gồm n bước:
+ Bước 1: Chọn phần tử xếp vào vị trí thứ nhất: n cách
+ Bước 2: Chọn phần tử xếp vào vị trí thứ hai: (n-1) cách
+ Bước thứ i: Chọn phần tử xếp vào vị trí thứ i: (n - i - 1) cách
...
+ Bước thứ n: Chọn phần tử xếp vào vị trí thứ n: 1 cách
Vì các bước trên thực hiện liên tiếp nên theo quy tắc nhân thì ta có Pn = n! cách sắp xếp, nghĩa là có n! hoán vị.
Ví dụ: Bàn học dài có 5 chỗ ngồi. Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 người ngồi vào chiếc bàn dài đó.
| A | B | C | D | E |
Giải
Sắp xếp 5 bạn vào 5 chỗ ngồi là một hoán vị của 5 phần tử nên có: 5! = 5.4.3.2.1 = 120 cách.
* Chú ý: Mỗi hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp. Chẳng hạn, hai hoán vị ABCD và ABDC của bốn phần tử A, B, C, D là khác nhau.
1.3. Hoán vị lặp
+ Cho tập hợp B gồm n phần tử (n ≥ 1), trong đó có k phần tử khác nhau a1, a2, ..., ak. Mỗi kết quả của sự sắp xếp n1 phần tử a1, n2 phần tử a2, ..., nk phần tử ak (n = n1 + n2 + ... + nk) theo một thứ tự tuỳ ý gọi là một hoán vị lặp cấp n và kiểu (n1, n2, ..., nk) của k phần tử.
+ Số các hoán vị lặp cấp n kiểu (n1, n2, ..., nk) của k phần tử là:
Pn(n1, n2, ..., nk) =
1.4. Hoán vị vòng
Việc sắp xếp n phần tử vào một bàn tròn gọi là một hoán vị vòng của n phần tử.
Số các hoán vị vòng là (n-1)!.
Ví dụ: Sắp xếp 6 người vào một bàn tròn có 6 ghế là một hoán vị vòng của 6 phần tử. Số cách sắp xếp là (6-1)! = 5! = 120 cách.
» Xem thêm:
2. Các dạng bài tập hoán vị
2.1. Dạng toán 1: Rút gọn biểu thức chứa hoán vị
* Phương pháp giải
Ta biến đổi và áp dụng các công thức đã nêu ở trên.
Câu 1: Rút gọn các biểu thức sau:
a) A =
b) B =
c) C =
d) D =
ĐÁP ÁN
a) A =
=
= 8.7 - 7.6
= 14
b) B =
=
=
=
c) C =
=
=
d) D =
=
= n(n-1)(n-2)(n-3).
2.2. Dạng toán 2: Chứng minh đẳng thức chứa hoán vị
* Phương pháp giải
Áp dụng các công thức nêu ở phần I.
Câu 2: Chứng minh các đẳng thức sau:
a) Pn - Pn-2 = (n2 - n - 1).Pn-2
b)
ĐÁP ÁN
a) Pn - Pn-2 = (n2 - n - 1).Pn-2
Ta có: VT = Pn - Pn-2
= n! - (n-2)!
= n(n-1)(n-2)! - (n-2)!
= [n(n-1) - 1].(n-2)!
= (n2 - n - 1).(n-2)!
= (n2 - n - 1).Pn-2
= VP (đpcm).
b)
Ta có: VT =
=
=
=
=
= VP (đpcm)
2.3. Dạng toán 3: Giải phương trình, bất phương trình chứa hoán vị
Câu 3: Giải các phương trình sau:
a) P3 .x3 + P2 .x = 0
b)
c) (n-2)! =
ĐÁP ÁN
a) P3 .x3 + P2 .x = 0
⇔ 3!.x3 + 2!.x = 0
⇔ 6x3 + 2x = 0
⇔ 2x.(3x2 + 1) = 0
⇔ 2x = 0 hoặc 3x2 + 1 = 0
⇔ x = 0.
Vậy phương trình có nghiệm là x = 0.
b)
⇔
⇔ (n-1) - (n-1)(n-2) = 0
⇔ (n-1)(1-n+2) = 0
⇔ (n-1)(3-n) = 0
⇔ n - 1 = 0 hoặc 3 - n = 0
⇔ n = 1 hoặc n = 3
Vậy các nghiệm của phương trình là n = 1; n = 3.
c) (n-2)! =
⇔ (n-2)! =
⇔ 2.(n-2)! = n(n-1)(n-2)!
⇔ 2 = n(n-1)
⇔ n2 - n - 2 = 0
⇔ n2 - 2n + n - 2 = 0
⇔ n(n-2) + (n-2) = 0
⇔ (n-2)(n+1) = 0
⇔ n - 2 = 0 hoặc n + 1 = 0
⇔ n = 2 hoặc n = -1
Vậy các nghiệm của phương trình là n = 2; n = -1.
2.4. Dạng toán 4: Các dạng toán tổng hợp khác về hoán vị
* Phương pháp giải
Ta áp dụng các công thức về hoán vị không lặp, hoán vị lặp, hoán vị vòng để biện luận và giải.
Câu 4: Số cách sắp xếp 5 bạn Thức, Chiến, Trang, Huyền, Duyên vào một bàn ăn hình tròn có bao nhiêu cách?
A. 24 cách
B. 6! cách
C. 5 cách
D. 5! cách
ĐÁP ÁN
Theo đề bài ta có n = 5 phần tử. Sắp xếp 5 phần tử vào một bàn tròn có số cách là 4! = 24 cách.
Chọn đáp án A.
Câu 5: Một chồng sách gồm 5 quyển sách Lịch sử, 6 quyển sách Địa lí, 4 quyển sách Giáo dục công dân. Hỏi có bao nhiêu cách xếp các quyển sách trên thành một hàng ngang sao cho 5 quyển sách Lịch sử đứng cạnh nhau, 6 quyển Địa lí đứng cạnh nhau?
A. 5!.6!.4!
B. 5!.6!.6!
C. 15!
D. 5! + 6! + 4!
ĐÁP ÁN
+ Bước 1: Do đề bài cho 5 quyển sách Lịch sử đứng cạnh nhau nên ta sẽ coi như “buộc” các quyển sách Lịch sử lại với nhau thì số cách xếp cho “buộc” Lịch sử này là 5! cách.
+ Bước 2: Tương tự ta cũng “buộc” 6 quyển sách Địa lí lại với nhau, thì số cách xếp cho “buộc” Địa lí này là 6! cách.
+ Bước 3: Lúc này ta sẽ đi xếp vị trí cho 6 phần tử trong đó có:
+ 1 “buộc” Lịch sử.
+ 1 “buộc” Địa lí.
+ 4 quyển Giáo dục công dân.
Thì sẽ có 6! cách xếp.
Vậy theo quy tắc nhân ta có 5!.6!.6! cách xếp.
Chọn đáp án B.
Câu 6: Có thể lập bao nhiêu số có 7 chữ số từ các chữ số 1, 2, 3, 4, trong đó chữ số 1 và chữ số 4 xuất hiện đúng 1 lần, chữ số 2 xuất hiện 2 lần, chữ số 3 xuất hiện 3 lần?
A. 5040 số
B. 288 số
C. 420 số
D. 560 số
ĐÁP ÁN
Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức hoán vị lặp ở phần 3 mục I.
Giải
Số các hoán vị lặp cấp 7 kiểu (1, 2, 3, 1) của 4 phần tử là
Chọn đáp án C.
Câu 7: Có 8 học sinh nam và 2 học sinh nữ được xếp thành hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho hai học sinh nữ không đứng cạnh nhau?
A. 3628800 cách
B. 80640 cách
C. 725760 cách
D. 2903040 cách
ĐÁP ÁN
+ Sắp xếp 10 người thành hàng ngang có 10! cách xếp.
+ Buộc 2 học sinh nữ lại với nhau thì có 2! cách. Khi đó có 2.9! cách xếp.
Mà 2 học sinh nữ không đứng cạnh nhau nên số cách xếp là 10! - 2.9! = 2903040 cách xếp.
Chọn đáp án D.
Trên đây là toàn bộ kiến thức về khái niệm, các dạng toán đa dạng từ cơ bản đến nâng cao về hoán vị. Hoán vị là nội dung không quá khó để nắm bắt nhưng nếu các bạn không hiểu bản chất của nó thì việc áp dụng vào giải toán sẽ gặp khó khăn. VOH Giáo Dục hy vọng với bài viết trên, các bạn sẽ hiểu rõ về hoán vị và giải các bài tập tương tự một cách nhanh chóng.
Biên soạn và chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang