Table of Contents
Các chuyên đề trước đã trình bày cho chúng ta một số khái niệm liên quan đến hoán vị và chỉnh hợp. Vậy tổ hợp là gì? Nó có những điểm khác nhau như thế nào so với hoán vị và chỉnh hợp? Bài viết sau đây VOH Giáo Dục sẽ trả lời cho các bạn những câu hỏi trên, đồng thời giới thiệu tới các bạn cách tính tổ hợp và tổng hợp những bài toán thường gặp của chuyên đề này.
1. Tổ hợp là gì?
Định nghĩa: Giả sử một tập hợp A có n phần tử (n ≥ 1). Mỗi tập hợp con gồm k phần tử của tập hợp A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
Chú ý:
+ Điều kiện của số k trong định nghĩa trên là: (1 ≤ k ≤ n).
+ Ta quy ước rằng: Tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập hợp rỗng (do tập hợp không có phần tử nào chính là tập rỗng).
Ví dụ 1: Em hãy chỉ ra các tổ hợp chập 2 của 3 phần tử của tập hợp sau: H = {3, 6, 9}.
Lời giải
Các tổ hợp chập 2 của 3 phần tử của tập hợp H là: {3, 6}; {3, 9} và {6, 9}.
2. Công thức tính tổ hợp
Ta kí hiệu
Ví dụ 2: Một câu lạc bộ thiện nguyện có tất cả 15 người, bao gồm 6 bạn nam và 9 bạn nữ. Câu lạc bộ dự định lập ra một nhóm 6 người đi từ thiện. Hỏi:
1) Để lập nhóm 6 người đi từ thiện có tất cả bao nhiêu cách?
2) Để lập nhóm 6 người đi từ thiện, trong đó gồm 4 bạn nam và 2 bạn nữ có tất cả bao nhiêu cách?
Lời giải
1) Mỗi nhóm được lập chính là một tổ hợp chập 6 của 15 người. Do đó, số nhóm mà ta có thể lập là:
Vậy có tất cả 5005 cách lập nhóm gồm 6 người đi từ thiện.
2) Cách chọn 4 người từ 6 bạn nam chính là một tổ hợp chập 4 của 6. Suy ra, có tất cả
Cách chọn 2 người từ 9 bạn nữ chính là một tổ hợp chập 2 của 9. Suy ra, có tất cả
Theo quy tắc nhân, có tất cả
Vậy có tất cả 540 cách lập nhóm 6 người, trong đó gồm 4 bạn nam và 2 bạn nữ đi từ thiện.
3. Tính chất của các tổ hợp chập k của n
Theo định lý về công thức tính số các tổ hợp chập k của n phần tử đã nêu ở trên, ta rút ra một số tính chất dưới đây:
3.1. Tính chất 1
3.2. Tính chất 2 (Công thức Pascan)
Ví dụ 3: Ta có,
+
+
4. Một số bài tập về tổ hợp xác suất
Bài 1. Trong một thùng giấy có chứa 3 bông hoa màu cam, 7 bông hoa màu đỏ và 10 bông hoa màu trắng. Hỏi, có bao nhiêu cách lấy ngẫu nhiên ra 3 bông hoa trong thùng giấy?
ĐÁP ÁN
Số cách chọn ngẫu nhiên 3 bông hoa chính là một tổ hợp chập 3 của 20 (bông hoa). Do đó, số cách lấy ngẫu nhiên ra 3 bông hoa là:
Vậy, có 1140 cách lấy ngẫu nhiên ra 3 bông hoa trong thùng giấy.
Bài 2. Trong một thùng giấy có chứa 5 quả bóng màu đen, 7 quả bóng màu vàng và 8 quả bóng màu trắng. Hỏi, có bao nhiêu cách lấy ra 4 quả bóng trong đó có đúng 2 quả bóng màu vàng?
ĐÁP ÁN
Cách chọn 2 quả bóng màu vàng từ 7 quả bóng màu vàng chính là một tổ hợp chập 2 của 7. Suy ra, có tất cả
Cách chọn 2 quả bóng còn lại từ 13 quả bóng chính là một tổ hợp chập 2 của 13. Suy ra, có tất cả
Theo quy tắc nhân, có tất cả
Vậy có tất cả 1638 cách lấy ra 4 quả bóng trong đó có 2 quả bóng màu vàng.
Bài 3. Cho 50 quả bóng đã được điền số từ số 1 đến số 50. Hỏi, có bao nhiêu cách lấy ra 6 quả bóng mà số được điền trên mỗi quả bóng lấy ra phải là số lẻ?
ĐÁP ÁN
Ta có, từ số 1 đến số 50 có tất cả 25 số lẻ.
Số cách chọn 6 quả bóng mà số được điền trên mỗi quả bóng lấy ra phải là số lẻ chính là một tổ hợp chập 6 của 25. Do đó, số cách lấy ra 6 quả bóng mà số được điền trên mỗi quả bóng lấy ra phải là số lẻ là:
Bài 4. Một câu lạc bộ nhảy của một trường có tất cả 24 bạn, bao gồm 10 bạn nam và 14 bạn nữ. Để chuẩn bị cho giải đấu bóng rổ cấp trường, trường dự định chọn ra 5 bạn tham gia đội cổ vũ. Hỏi, có tất cả bao nhiêu cách lập đội cổ vũ trong đó có ít nhất một bạn nữ?
ĐÁP ÁN
Số cách lập đội cổ vũ gồm 5 bạn bất kỳ là:
Số cách lập đội cổ vũ gồm 5 bạn mà không có bạn nữ nào chính là số cách lập đội cổ vũ gồm 5 bạn nam có:
Suy ra, số cách lập đội cổ vũ trong đó có ít nhất một bạn nữ là: 42504 – 252 = 42252 (cách chọn).
Vậy, có tất cả 42252 cách lập đội cổ vũ trong đó có ít nhất một bạn nữ.
Bài 5. Trong một mặt phẳng, cho một đa giác đều có tất cả 11 cạnh. Hỏi, đa giác đều đó có tất cả bao nhiêu đường chéo?
ĐÁP ÁN
Ta có, đa giác đều đã cho có tất cả 11 cạnh, nên suy ra đa giác đều đó có tất cả 11 đỉnh.
Trong đa giác đều trên, số đường thẳng đi qua 2 đỉnh từ 11 đỉnh là:
Vì số đường thẳng đi qua 2 đỉnh từ 11 đỉnh của đa giác đều đã bao gồm 11 cạnh của đa giác đều đó. Do đó, số đường chéo của đa giác đều đã cho là 55 – 11 = 44 (đường).
Vậy đa giác đều đã cho có tất cả 44 đường chéo.
Như vậy, bài viết trên đã giải đáp rất chi tiết và cụ thể cho chúng ta câu hỏi: Tổ hợp là gì? Đồng thời, bài viết đã giới thiệu tới các bạn công thức tính số các tổ hợp và tổng hợp những bài toán thường gặp của chuyên đề này. Qua đó, hy vọng các bạn sẽ có hứng thú với phần kiến thức trong chuyên đề này và làm thật tốt các bài toán tương tự.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang