Table of Contents
Trong Đại số tổ hợp, có nhiều tập hợp hữu hạn mà chúng ta không thể tính toán hay xác định được số phần tử của chúng. Để đếm số phần tử của các phần tử hữu hạn đó, cũng như để xây dựng các công thức trong Đại số tổ hợp, người ta thường sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân. Ở bài trước các bạn đã được học quy tắc cộng, trong bài viết dưới đây ta sẽ học phần còn lại: quy tắc nhân xác suất.
1. Quy tắc nhân là gì?
1.1. Quy tắc nhân mở rộng
Làm một công việc A phải hoàn thành qua k bước thực hiện liên tiếp:
+ Bước 1 có a1 cách thực hiện
+ Bước 2 có a2 cách thực hiện
...
+ Bước m có am cách thực hiện
Vậy có a1.a2...am cách để để hoàn thành công việc A.
1.2. Sơ đồ quy tắc nhân
Lưu ý: Quy tắc nhân dùng khi ta thực hiện các công đoạn liên tiếp để hoàn thành công việc.
2. Phương pháp và các dạng bài toán thường gặp về quy tắc nhân
2.1. Phương pháp giải toán quy tắc nhân
* Phương pháp giải:
Để đếm số cách lựa chọn để thực hiện công việc A bằng quy tắc nhân, ta thực hiện các bước:
- Bước 1: Ta phân tích xem cần phải thực hiện bao nhiêu công đoạn liên tiếp để kết thúc công việc A (chẳng hạn công việc A chỉ kết thúc sau khi tất cả các công đoạn A1; A2; ...; Ak kết thúc).
- Bước 2: Trong các công đoạn A1; A2; ...; Ak ta đếm số cách chọn n1; n2; ...; nk.
- Bước 3: Ta áp dụng quy tắc nhân tính được số cách lựa chọn để thực hiện công việc A là n1.n2...nk.
2.2. Các bài tập áp dụng quy tắc nhân
Câu 1: Một tổ trong lớp 11B8 có 12 bạn nam và 3 bạn nữ. Bạn lớp phó học tập muốn chọn ra hai bạn lên bảng sửa bài tập. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho có cả bạn nam và bạn nữ?
A. 36 cách
B. 15 cách
C. 3 cách
D. 12 cách
ĐÁP ÁN
Hướng dẫn giải: Chọn 2 bạn sao cho có cả nam và nữ là một công việc được thực hiện bởi 2 hành động liên tiếp: chọn 1 bạn nam và chọn 1 bạn nữ nên ta áp dụng quy tắc nhân.
Lời giải
+ Bước 1: Chọn 1 bạn nam có 12 cách
+ Bước 2: Chọn 1 bạn nữ có 3 cách
⇒ Vậy có 12.3 = 36 cách
Chọn đáp án A.
Câu 2: Đi từ Đắk Nông đến Huế có thể đi bằng xe máy, máy bay, đi xe khách, tàu hoả. Đi từ Huế đến Hà Nội có thể đi bằng xe máy, xe đạp, xe taxi, máy bay, xe khách. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ Đắk Nông đến Hà Nội (qua Huế một lần)?
A. 4 cách
B. 20 cách
C. 5 cách
D. 9 cách
ĐÁP ÁN
Hướng dẫn giải: Đi từ Đắk Nông đến Hà Nội (qua Huế một lần) là một công việc được thực hiện bởi 2 hành dộng liên tiếp nên ta áp dụng quy tắc nhân.
Lời giải
+ Bước 1: Đi từ Đắk Nông đến Huế có 4 cách
+ Bước 2: Đi từ Huế đến Hà Nội có 5 cách
⇒ Vậy có 4.5 = 20 cách
Chọn đáp án B.
Câu 3: Một hộp kẹo mút có 10 cái màu xanh, 5 cái màu đỏ, 3 cái màu hồng, 2 cái màu đen. Trang muốn mua 4 cái kẹo. Hỏi có bao nhiêu cách để số kẹo Trang mua có đủ màu?
A. 20 cách
B. 15 cách
C. 300 cách
D. 18 cách
ĐÁP ÁN
Hướng dẫn giải: Trang muốn mua 4 cái kẹo có đủ màu là một công việc được thực hiện bởi 4 hành động liên tiếp: chọn 1 cái màu xanh, chọn 1 cái màu đỏ, chọn 1 cái màu hổng và chọn 1 cái màu đen nên ta áp dụng quy tắc nhân.
Lời giải
+ Bước 1: Chọn 1 cái màu xanh có 10 cách
+ Bước 2: Chọn 1 cái màu đỏ có 5 cách
+ Bước 3: Chọn 1 cái màu hồng có 3 cách
+ Bước 4: Chọn 1 cái màu đen có 2 cách
⇒ Vậy có 10.5.3.2 = 300 cách.
Chọn đáp án C.
Câu 4: Một bó hoa gồm có 8 bông hoa cúc hoạ mi, 2 bông hoa Lavender. Bạn Lan muốn lấy 3 bông hoa để cắm vào bình hoa để bàn. Hỏi Lan có bao nhiêu cách chọn để chọn được đúng 2 bông hoa Lavender?
A. 16 cách
B. 10 cách
C. 2 cách
D. 8 cách
ĐÁP ÁN
Hướng dẫn giải: Lan muốn chọn 3 bông hoa trong đó có đúng 2 bông hoa Lavender là một công việc được thực hiện bởi 2 hành động: chọn 2 bông hoa Lavender và chọn 1 bông hoa cúc hoạ mi nên ta áp dụng quy tắc nhân.
Lời giải
+ Bước 1: Chọn 2 bông hoa Lavender có 1 cách
+ Bước 2: Chọn 1 bông hoa cúc hoạ mi có 8 cách
⇒ Vậy có 1.8 = 8 cách
Chọn đáp án D.
Câu 5: Trên một lịch chiếu phim có 3 bộ phim thể loại kinh dị, 5 bộ phim thể loại hoạt hình, 8 bộ phim thể lại khoa học viễn tưởng và 9 bộ phim thể lại hành động. Loan muốn coi 4 bộ phim. Hỏi Lan có bao nhiêu cách chọn để Loan coi đủ các thể loại phim?
A. 9 cách
B. 3 cách
C. 1080 cách
D. 25 cách
ĐÁP ÁN
Hướng dẫn giải: Loan muốn coi 4 bộ phim và đủ thể loại là một công việc được thực hiện bởi 4 hành động liên tiếp: chọn 1 bộ phim thể loại kinh dị, chọn 1 bộ phim thể loại hoạt hình, chọn 1 bộ phim thể lại khoa học viễn tưởng và chọn 1 bộ phim thể lại hành động nên ta áp dụng quy tắc nhân.
Lời giải
+ Bước 1: Chọn 1 bộ phim thể loại kinh dị có 3 cách
+ Bước 2: Chọn 1 bộ phim thể loại hoạt hình có 5 cách
+ Bước 3: Chọn 1 bộ phim thể lại khoa học viễn tưởng có 8 cách
+ Bước 4: Chọn 1 bộ phim thể lại hành động co 9 cách
⇒ Vậy có 3.5.8.9 = 1080 cách
Chọn đáp án C.
Câu 6: Từ 25 vỏ gối màu vàng, 45 vỏ gối màu trắng và 35 vỏ gối màu đỏ (các vỏ gối xem như đôi một khác nhau). Hoa muốn chọn 3 vỏ gối, hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 vỏ gối sao cho có đủ màu?
A. 60 cách
B. 45 cách
C. 105 cách
D. 39375 cách
ĐÁP ÁN
Hướng dẫn giải: Hoa muốn chọn 3 gối có đủ màu là một công việc được thực hiện bởi 3 hành động liên tiếp: chọn 1 vỏ gối màu vàng, chọn 1 vỏ gối màu trắng và chọn 1 vỏ gối màu đỏ nên ta áp dụng quy tắc nhân.
Lời giải
+ Bước 1: Chọn 1 vỏ gối màu vàng có 25 cách
+ Bước 2: Chọn 1 vỏ gối màu trắng có 45 cách
+ Bước 3: Chọn 1 vỏ gối màu đỏ có 35 cách
⇒ Vậy có 25.45.35 = 39375 cách
Chọn đáp án D.
Câu 7: Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 5, 6. Có thể lập được bao nhiêu số có bốn chữ số đôi một khác nhau chia hết cho 5?
A. 108
B. 360
C. 300
D. 240
ĐÁP ÁN
Gọi số có bốn chữ số khác nhau chia hết cho 5 là
+ TH1: d = 0
Bước 1: Chọn d có 1 cách
Bước 2: Chọn a có 5 cách
Bước 3: Chọn b có 4 cách
Bước 4: Chọn c có 3 cách
+ TH2: d = 5
Bước 1: Chọn d có 1 cách
Bước 2: Chọn a có 4 cách
Bước 3: Chọn b có 4 cách
Bước 4: Chọn c có 3 cách
⇒ Vậy có 1.5.4.3 + 1.4.4.3 = 108 số.
Chọn đáp án A.
Quy tắc nhân là phần nội dung quan trọng, nó sẽ liên quan đến các nội dung tiếp theo. VOH Giáo Dục hy vọng qua bài viết trên, các bạn nắm chắc kiến thức để học các nội dung tiếp theo một cách nhanh hơn và không gặp khó khăn. Chúc các bạn học tốt.
Biên soạn và chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang