Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng đơn giản, chuẩn nhất

Trong không gian toán học, chứng minh 3 điểm thẳng hàng là một vấn đề quan trọng và thú vị. Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá các cách chứng minh đơn giản và chuẩn nhất để xác định liệu 3 điểm có nằm trên cùng một đường thẳng hay không. Hãy cùng bắt đầu hành trình khám phá và cách để chứng minh 3 điểm thẳng hàng!

1. Thế nào là ba điểm thẳng hàng?

+ Ba điểm được gọi là thẳng hàng nếu chúng cùng nằm trên một đường thẳng.

Ví dụ: Trong hình vẽ sau đây, ba điểm A, B, C là ba điểm thẳng hàng vì chúng cùng nằm trên đường thẳng d.

2. Hướng dẫn chứng minh 3 điểm thẳng hàng

2.1. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng dựa vào tọa độ của điểm cho trước

+ Lý thuyết: Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng là có số k sao cho = k. .

Ví dụ: Cho ba điểm A(2; 3), B(1; 1), C(0; - 1). Hỏi A, B, C có phải là ba điểm thẳng hàng hay không? Tại sao?

Giải

Ta có:

= (- 1; - 2)

= (- 2; - 4) = 2.(- 1; - 2) = 2.

Vì = 2.  nên ba điểm A, B, C thẳng hàng.

2.2. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng dựa vào tính chất hình học của các hình

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A có I là trung điểm của cạnh BC. Trên đường thẳng đi qua C và vuông góc với AC lấy điểm D sao cho D cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm B và DC = AB. Chứng minh 3 điểm A, I, D thẳng hàng.

Giải

+ Ta có: AB AC và DC AC.

Suy ra: AB // DC.

Lại có: AB = DC (gt)

Suy ra: ABDC là hình bình hành

Mà = 90^o.

Do đó, ABDC là hình chữ nhật.

+ Theo tính chất đường chéo trong hình chữ nhật ABDC ta có:

BC và AD là hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà I là trung điểm của BC.

Suy ra I cũng là trung điểm của AD.

Vậy, A, I, D là 3 điểm thẳng hàng.

2.3. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong bài toán hình học không gian

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi K, I lần lượt là trung điểm của SC và AB. H là giao điểm của IC và BD; J là giao điểm của IK và mặt phẳng (SBD). Chứng minh 3 điểm S, H, J thẳng hàng.

Giải

Giao điểm của IK và mặt phẳng (SBD) là J. Cần xác định điểm J.

Vì IK (SIC). Nên chúng ta tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SIC) và (SBD).

Ta có: S (SIC) và S (SBD) nên S = (SIC) (SBD).

Lại có: H BD (SBD) và H IC (SIC) nên H = (SIC) (SBD).

Vậy, giao tuyến của mặt phẳng (SIC) và (SBD) là SH.

Gọi J = IK SH.

Ta có: J IK ; J SH (SBD) nên J (SBD).

Vậy, J = IK (SBD)

+ Vì J = IK SH nên J SH.

Do đó, S, H, J thẳng hàng.

3. Bài tập chứng minh 3 điểm thẳng hàng

3.1. Bài tập tự luận

Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC, kẻ đường cao AH (H BC). Gọi M là trung điểm của HC. Trên đường thẳng đi qua C và vuông góc với BC lấy điểm Q sao cho Q khác phía với A và CQ = AH. Hỏi ba điểm A, M, Q có thẳng hàng hay không?

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng đáy. O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, I là một điểm trên cạnh SB sao cho SI = .SB. Gọi M là giao điểm của DI với mặt phẳng (SAC). Chứng minh ba điểm S, M, O thẳng hàng.

3.2. Bài tập trắc nghiệm

Bài 3: Cho ba điểm A(1; 2), B(3; 2), C(0; 2). Trong các phát biểu sau, phát biểu đúng là:

1. Ba điểm A, B, C là ba điểm không thẳng hàng.
2. Ba điểm A, B, C là ba điểm thẳng hàng vì = 2..
3. Ba điểm A, B, C là ba điểm thẳng hàng vì = -2..
4. Ba điểm A, B, C là ba điểm thẳng hàng vì = -2..

Bài 4: Cho ba điểm A(3; - 1), B(1; 2), C(- 1; 2c). Hỏi với tọa độ nào của điểm C thì ba điểm A, B, C thẳng hàng?

1. C(- 1; 2)
2. C(- 1; 3)
3. C(- 1; 4)
4. C(- 1; 5)

Bài 5: Muốn chứng minh ba điểm A, B, C là ba điểm thẳng hàng ta cần chỉ ra có một số k sao cho:

4. Cả A, B, C đều đúng

Mong rằng thông qua bài viết, các em có thể nắm bắt được một số cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng. Đồng thời có thể vận dụng giải quyết nhiều bài tập liên quan hơn nữa.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang