Hình chóp tứ giác: Định nghĩa, tính chất và công thức tính (cực hay, chi tiết)

Hình chóp tứ giác là một nội dung quan trọng được đề cập nhiều trong chương trình môn Toán lớp 11. Bài viết sau đây nhằm giới thiệu tổng quan về hình chóp tứ giác cùng một số vấn đề liên quan. Để hiểu rõ hơn về nội dung chi tiết, chúng ta hãy cùng đi vào tìm hiểu nội dung bài viết sau đây.

1. Giới thiệu về hình chóp tứ giác

1.1. Hình chóp tứ giác là gì?

+ Hình chóp tứ giác là hình có đáy là một tứ giác, các mặt bên là các tam giác có chung đỉnh.

Ví dụ: Hình vẽ dưới đây cho chúng ta hình ảnh của một hình chóp tứ giác S.ABCD.

1.2. Hình chóp tứ giác có bao nhiêu mặt?

+ Hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cả 5 mặt là: SAB, SAD, SCD, SBC, ABCD.

1.3. Hình chóp tứ giác có tất cả bao nhiêu cạnh?

+ Hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cả 8 cạnh là: SA, SB, SC, SD, AB, BC, CD, DA.

2. Tỉ số thể tích hình chóp tứ giác

2.1. Công thức tính thể tích hình chóp tứ giác

+ Công thức tính thể tích hình chóp tứ giác là:

V = .S.h

Trong đó: h là chiều cao của hình chóp tứ giác, S là diện tích đáy của hình chóp tứ giác.

Ví dụ: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a (cm) và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA = 5a (cm). Tính thể tích hình chóp tứ giác S.ABCD.

Giải

+ Đáy ABCD là hình vuông nên diện tích đáy là:

S = (2a)² = 4a² (cm²)

+ SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SA đóng vai trò là chiều cao trong hình chóp tứ giác S.ABCD.

+ Thể tích hình chóp tứ giác là:

V = .S.h = .S.SA = .4a².5a = (cm³)

2.2. Tính tỉ số thể tích hình chóp tứ giác

2.2.1. Dạng 1: Tính tỉ số thể tích của hai hình chóp tứ giác có chung đáy, chiều cao khác nhau.

+ Hình chóp tứ giác thứ nhất có chiều cao h₁ và diện tích đáy là S, hình chóp tứ giác thứ hai có chiều cao h₂ và diện tích đáy là S.

+ Tỉ số thể tích của hình chóp tứ giác thứ nhất và hình chóp tứ giác thứ hai là:

Vậy, khi hai hình chóp tứ giác có chung đáy nhưng chiều cao khác nhau thì tỉ số thể tích bằng tỉ số chiều cao tương ứng.

Ví dụ: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và SA vuông góc với mặt phẳng đáy, Q là một điểm trên cạnh SA sao cho SQ = .QA. Tính tỉ số thể tích của hình chóp tứ giác S.ABCD với hình chóp tứ giác Q.ABCD.

Giải

+ Hình chóp tứ giác S.ABCD với hình chóp tứ giác Q.ABCD có cùng đáy ABCD nên có cùng diện tích đáy.

+ SA là chiều cao của hình chóp tứ giác S.ABCD do SA vuông góc với mặt phẳng đáy.

+ Vì Q là một điểm trên cạnh SA nên QA cũng vuông góc với mặt phẳng đáy. Do đó, QA là chiều cao trong hình chóp tứ giác Q.ABCD.

+ Tỉ số thể tích của hình chóp tứ giác S.ABCD với hình chóp tứ giác Q.ABCD là:

2.2.2. Dạng 2: Tính tỉ số thể tích của hai hình chóp tứ giác có đáy khác nhau, có cùng chiều cao.

+ Hình chóp tứ giác thứ nhất có chiều cao h và diện tích đáy là S₁, hình chóp tứ giác thứ hai có chiều cao h và diện tích đáy là S₂.

+ Tỉ số thể tích của hình chóp tứ giác thứ nhất và hình chóp tứ giác thứ hai là:

Vậy, khi hai hình chóp tứ giác có đáy khác nhau nhưng có cùng chiều cao thì tỉ số thể tích bằng tỉ số diện tích tương ứng.

Ví dụ: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 3a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. N là một điểm trên cạnh BC sao cho NC = .NB. Tính tỉ số thể tích của hình chóp tứ giác S.ABCD với hình chóp tứ giác S.ABND.

Giải

+ Hình chóp tứ giác S.ABCD với hình chóp tứ giác S.ABND có chung chiều cao là cạnh SA. Nên tỉ số thể tích của hai hình chóp tứ giác này là:

+ Diện tích hình vuông ABCD là: 

S_ABCD = (3a)² = 9a² (đvdt)

+ Diện tích hình thang vuông ABND là:

S_ABND = (đvtt)

Suy ra:

3. Bài tập áp dụng về hình chóp tứ giác

Bài 1: So với hình chóp tam giác thì hình chóp tứ giác có cùng:

1. Số mặt bên
2. Số cạnh bên
3. Số mặt đáy
4. Số cạnh đáy

Bài 2: Hình chóp tứ giác có thể tích là 16a³ (đvtt), đáy là hình vuông có cạnh 2a (đvđd). Lúc này, chiều cao của hình chóp tứ giác là:

1. Chưa đủ điều kiện để xác định
2. Chiều cao h = 8a đvđd
3. Chiều cao h = 10a đvđd
4. Chiều cao h = 12a đvđd

Bài 3: Cho hai hình chóp tứ giác có cùng đáy là S.ABCD và N.ABCD. Biết rằng N là một điểm trên cạnh SA sao cho SA = 5.NA và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Khi đó, tỉ số thể tích của hình chóp tứ giác N.ABCD và S.ABCD là:

1. = 5.
2. = .
3. = 25.
4. = .

Bài 4: Hai hình chóp tứ giác có cùng chiều cao. Biết hình chóp tứ giác thứ nhất có đáy là hình chữ nhật có chiều dài 12 cm, chiều rộng 8 cm. Hình chóp tứ giác thứ hai có đáy là hình thoi có độ dài hai đường chéo là 10 cm và 14 cm. Lúc này, tỉ số thể tích của hình chóp tứ giác thứ nhất với hình chóp tứ giác thứ hai là:

1. = 1.
2. = .
3. = .
4. Cả A, B, C đều sai.

Bài 5: Hình chóp tứ giác thứ nhất có chiều cao gấp 4 lần chiều cao hình chóp tứ giác thứ hai. Hình chóp tứ giác thứ hai có diện tích đáy gấp 8 lần diện tích đáy hình chóp tứ giác thứ nhất. Tỉ số thể tích của hình chóp tứ giác thứ hai so với hình chóp tứ giác thứ nhất là:

1. = .
2. = 2.
3. = .
4. = 4.

Mong rằng thông qua bài viết, các em có thể nắm được những nội dung chính liên quan đến hình chóp tứ giác. Đồng thời có thể vận dụng lý thuyết để giải quyết được nhiều câu hỏi và bài tập liên quan hơn nữa.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang