Table of Contents
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá ý nghĩa và cách thực hiện phép chiếu song song, cùng những tính chất quan trọng liên quan đến nó. Chúng ta cũng sẽ thực hành qua các bài tập tự luyện để nắm vững kỹ năng áp dụng phép chiếu song song vào giải quyết các bài toán thực tế. Hãy cùng bắt đầu hành trình khám phá phép chiếu song song và ứng dụng của nó trong toán học!
1. Khái niệm phép chiếu song song
+ Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng m cắt mặt phẳng (P). Với mỗi điểm M trong không gian, đường thẳng đi qua M và có phương song song hoặc trùng với đường thẳng m cắt mặt phẳng (P) tại M'.
+ Phép đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với điểm M' của mặt phẳng (P) được gọi là phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương m.
- Mặt phẳng (P) là mặt phẳng chiếu.
- Đường thẳng m là phương chiếu.
- Điểm M' là hình chiếu song song của điểm M.
Ví dụ: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Hãy cho biết hình chiếu song song của điểm A theo phương chiếu BC trên mặt phẳng (CDD'C') là điểm nào?
Giải
Ta có:
+ AD // BC (do ABCD là hình chữ nhật)
+ AD
Vậy, hình chiếu song song của điểm A theo phương chiếu BC trên mặt phẳng (CDD'C') là điểm D.
2. Tính chất phép chiếu song song
+ Thông qua phép chiếu song song, ta thu được hình chiếu song song tương ứng với một số hình ban đầu như sau:
| Hình ban đầu | Hình chiếu song song tương ứng |
| Đường thẳng | Đường thẳng |
| Đoạn thẳng | Đoạn thẳng |
| Tia | Tia |
| Hai đường thẳng song song | Hai đường thẳng song song hoặc hai đường thẳng trùng nhau |
Chú ý: Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
Ví dụ: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Hãy cho biết hình chiếu song song của đoạn thẳng AB theo phương chiếu BC' trên mặt phẳng (A'B'C'D') có dạng hình gì?
Giải
+ Đường thẳng đi qua điểm B có phương trùng với BC' cắt mặt phẳng (A'B'C'D') tại C'.
Do đó, C' là hình chiếu của B trên mặt phẳng (A'B'C'D') theo phương chiếu BC'. (1)
+ Ta có: AB // A'B' (do ABB'A' là hình chữ nhật) và D'C' // A'B' (do A'B'C'D' là hình chữ nhật).
Suy ra: AB // D'C' (do cùng song song với A'B')
Mà AB = D'C'
Do đó, tứ giác ABC'D' là hình bình hành.
Suy ra: AD' // BC'.
Đường thẳng đi qua điểm A có phương song song với BC' cắt mặt phẳng (A'B'C'D') tại D'.
Do đó, D' là hình chiếu của A trên mặt phẳng (A'B'C'D') theo phương chiếu BC'. (2)
Từ (1) và (2) ta có: đoạn thẳng D'C' là hình chiếu của đoạn thẳng AB trên mặt phẳng (A'B'C'D') theo phương chiếu BC'.
3. Mối liên quan giữa phép chiếu song song với hình biểu diễn của một hình không gian
+ Định nghĩa: Hình biểu diễn của một hình H trong không gian là hình chiếu song song của hình H trên một mặt phẳng hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó.
+ Hình biểu diễn của một số hình trong không gian được tóm tắt lại trong bảng dưới đây:
| Hình ban đầu | Hình biểu diễn tương ứng |
| Hình thang | Hình thang |
| Hình bình hành | Hình bình hành |
| Hình thoi | Hình bình hành |
| Hình chữ nhật | Hình bình hành |
| Hình vuông | Hình bình hành |
| Tam giác cân | Tam giác bất kì |
| Tam giác đều | Tam giác bất kì |
| Tam giác vuông | Tam giác bất kì |
| Đường tròn | Đường tròn hoặc đường elip |
Chú ý: Trong một số trường hợp đặc biệt, hình biểu diễn của một số hình ở cột bên tay trái phía trên có thể là một đoạn thẳng (trừ các hình liên quan đến tam giác)
4. Bài tập về phép chiếu song song
Bài 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Hình chiếu song song của điểm C theo phương chiếu CC' trên mặt phẳng (A'B'C'D') là:
- Điểm A'
- Điểm B'
- Điểm C'
- Điểm D'
ĐÁP ÁN
Đường thẳng qua điểm C có phương chiếu CC' cắt mặt phẳng (A'B'C'D') tại C'.
Do đó, C' là hình chiếu của C trên mặt phẳng (A'B'C'D') theo phương chiếu CC'.
Chọn câu C
Bài 2: Cho mặt phẳng (Q) và đường thẳng d cắt mặt phẳng (Q), M là một điểm trong không gian không nằm trên đường thẳng d và mặt phẳng (Q). Khi thực hiện phép chiếu song song của điểm M trên mặt phẳng (Q) theo phương chiếu d ta thu được:
- Một đường thẳng d' duy nhất
- Vô số đường thẳng d'
- Một điểm M' duy nhất
- Vô số điểm M'
ĐÁP ÁN
Đường thẳng qua M và song song với d cắt mặt phẳng (Q) tại một điểm M' duy nhất. Do đó, M' là hình chiếu của M trên mặt phẳng (Q) theo phương chiếu d và M' này là duy nhất.
Chọn câu C
Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Hình chiếu song song của đoạn thẳng AB theo phương chiếu BB' trên mặt phẳng (A'B'C'D') là:
- Đoạn thẳng D'C'
- Đoạn thẳng A'B'
- Đoạn thẳng DC
- Cả A, B, C đều sai
ĐÁP ÁN
+ Đường thẳng đi qua điểm A có phương song song với đường thẳng BB' cắt mặt phẳng (A'B'C'D') tại A'.
Do đó, A' là hình chiếu của A trên mặt phẳng (A'B'C'D') theo phương chiếu BB'.
+ Đường thẳng đi qua điểm B có phương trùng với đường thẳng BB' cắt mặt phẳng (A'B'C'D') tại B'.
Do đó, B' là hình chiếu của B trên mặt phẳng (A'B'C'D') theo phương chiếu BB'.
Vậy, A'B' là hình chiếu song song của AB trên mặt phẳng (A'B'C'D') theo phương chiếu BB'.
Chọn câu B
Bài 4: Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng a cắt mặt phẳng (P). Khi đem một hình vuông có các đỉnh không nằm trên mặt phẳng (P), thực hiện phép chiếu song song theo phương a lên mặt phẳng (P). Trong các phát biểu sau, phát biểu đúng là:
- Hình chiếu song song của hình vuông trên mặt phẳng (P) theo phương a được bảo toàn tính chất bằng nhau giữa hai cạnh kề.
- Hình chiếu song song của hình vuông trên mặt phẳng (P) theo phương a được bảo toàn tính chất vuông góc giữa hai cạnh kề.
- Hình chiếu song song của hình vuông trên mặt phẳng (P) theo phương a được bảo toàn tính chất song song giữa hai cạnh đối diện.
- Cả A, B, C đều đúng.
ĐÁP ÁN
Khi thực hiện phép chiếu song song theo phương a trên mặt phẳng (P), từ hình vuông ban đầu ta thu được hình chiếu là hình bình hành. Trong đó:
+ Hai cạnh kề của hình bình hành không bằng nhau nên A sai.
+ Hai cạnh kề của hình bình hành không vuông góc với nhau nên B sai.
+ Hai cạnh đối diện trong hình bình hành song song với nhau (tính song song này tồn tại trong hình vuông ban đầu) nên C đúng.
Chọn câu C
Bài 5: Đoạn thẳng không thể là hình biểu diễn của hình nào trong các hình sau đây?
- Đường tròn
- Hình thoi
- Hình vuông
- Tam giác đều
ĐÁP ÁN
Hình biểu diễn của tam giác đều là một tam giác bất kì.
Chọn câu D
Bài 6: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Hình chiếu song song của đoạn thẳng BC trên mặt phẳng (A'B'C'D') theo các phương chiếu AA', BB', CC', DD' là:
- Cùng một đoạn thẳng
- Là các đoạn thẳng khác nhau và bằng nhau
- Là các đoạn thẳng khác nhau và song song với nhau
- Là các đoạn thẳng khác nhau, song song và bằng nhau
ĐÁP ÁN
Hình chiếu song song của đoạn thẳng BC trên mặt phẳng (A'B'C'D') theo các phương chiếu AA', BB', CC', DD' đều là đoạn thẳng B'C'.
Chọn câu A
Bài 7: Thực hiện phép chiếu song song của một tam giác vuông lên mặt phẳng (Q) theo phương của đường thẳng d cắt mặt phẳng (Q). Lúc này tính chất đặc trưng của hình ban đầu bị mất đi là:
- Tính vuông góc
- Tính song song
- Tính bằng nhau
- Cả A, B, C đều đúng
ĐÁP ÁN
Thông qua phép chiếu song song theo phương d lên mặt phẳng (Q), từ một tam giác vuông ban đầu ta thu được hình chiếu là một tam giác bất kì nên tính vuông góc đã bị mất đi.
Chọn câu A
Mong rằng thông qua bài viết, các em có thể nắm vững những nội dung kiến thức liên quan đến phép chiếu song song. Đồng thời có thể vận dụng vào việc giải quyết những câu hỏi và bài tập liên quan đến phép chiếu song song.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang