Hình chóp tam giác đều: Kiến thức trọng tâm & bài tập ứng dụng

Hình chóp tam giác là một nội dung kiến thức quan trọng về hình học trong chương trình môn Toán lớp 11. Bài viết sau đây nhằm giới thiệu hình chóp tam giác đều cùng một số vấn đề và dạng bài tập liên quan. Để hiểu rõ hơn về nội dung chi tiết, chúng ta hãy cùng đi vào tìm hiểu bài viết sau đây.

1. Hình chóp tam giác

1.1. Khái niệm hình chóp tam giác

Cho hình chóp tam tam giác S.ABC.

+ S được gọi là đỉnh của hình chóp.

+ Mặt đáy của hình chóp là tam giác ABC.

+ Các cạnh AB, BC, AC là các cạnh đáy của hình chóp.

+ Mặt bên của hình chóp là các tam giác SAB, SBC, SAC.

+ Các cạnh SA, SB, SC là các cạnh bên của hình chóp.

1.2. Cách tính thể tích hình chóp tam giác

+ Có thể tính được thể tích hình chóp tam giác khi biết được độ dài chiều cao và diện tích đáy của hình chóp.

+ Muốn tính thể tích hình chóp tam giác ta áp dụng công thức:

V = .S.h

Trong đó:

• h là chiều cao của hình chóp,
• S là diện tích đáy của hình chóp.

Ví dụ: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = a; AC = 3a; BC = 2a; SC = 4a. Biết H là một điểm trên cạnh AC sao cho AH = .AC và SH vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính thể tích hình chóp tam giác S.ABC.

Giải

+ Ta có: AC² = (3a)² = 9a² ; AB² + BC² = a² + (2a)² = 9a².

Suy ra: AC² = AB² + BC².

Vậy, tam giác ABC là tam giác vuông tại B.

Diện tích tam giác ABC là:

S_ABC = .AB.BC = .a.2a = a² (đvdt)

+ Vì SH vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên SH là chiều cao trong hình chóp tam giác S.ABC.

Do đó, ta có SH vuông góc với AC.

Xét tam giác SHC vuông tại H có:

HC = 2a; SC = 4a.

Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

SH² + HC² = SC²

SH² = SC² - HC²

SH² = (4a)² - (2a)²

SH² = 12a²

SH = 2a

+ Thể tích hình chóp tam giác S.ABC là:

V = .SH.S_ABC = .2a.a² = a³ (đvtt)

2. Hình chóp tam giác đều là gì?

2.1. Khái niệm hình chóp tam giác đều

+ Hình chóp tam giác đều là hình chóp có mặt đáy là một tam giác đều. Các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau và có chung đỉnh.

Ví dụ: Hình chóp tam giác đều S.ABC là hình chóp có đáy ABC là tam giác đều, các mặt bên là SAB, SAC, SBC là những tam giác cân tại S và bằng nhau.

+ Một số đặc trưng của hình chóp tam giác đều:

• Gọi O là giao điểm của các đường trung tuyến (hay đường cao, đường phân giác, ...) trong tam giác ABC. Lúc này, SO được gọi là chiều cao của hình chóp tam giác đều.
• SN là chiều cao của mặt bên. Lúc này, SN được gọi là trung đoạn.

2.2. Cách vẽ hình chóp tam giác đều

Để vẽ hình chóp tam giác đều, ta thực hiện các bước sau:

+ Vẽ một tam giác ABC đóng vai trò là đáy của hình chóp tam giác đều (về mặt lý thuyết, đáy của hình chóp tam giác đều là một tam giác đều tuy nhiên khi biểu trên trong không gian ta có thể vẽ một tam giác bất kì).

+ Xác định tâm O của tam giác ABC (tâm O là giao điểm của các đường trung tuyến, đường cao, ...)

+ Kẻ đường thẳng đi qua tâm O và vuông góc với đáy.

+ Lấy một điểm S trên đường thẳng này. Nối S lần lượt với A, B, C ta được hình chóp tam giác đều S.ABC.

2.3. Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích hình chóp tam giác đều

• Muốn tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều, ta lấy nửa chu vi đáy nhân với trung đoạn.
• Muốn tính diện tích toàn phần của hình chóp tam giác đều, ta lấy diện tích xung quanh cộng với diện tích đáy.
• Muốn tính thể tích của hình chóp tam giác đều ta lấy diện tích đáy nhân với chiều cao rồi chia cho 3.

Ví dụ: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có AB = 2a cm, SA = 3a cm. Tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều.

Giải

+ Nửa chu vi đáy của hình chóp tam giác đều là:

p = (2a + 2a + 2a) : 2 = 3a (cm)

+ Độ dài trung đoạn của hình chóp tam giác đều là:

d = SN = (cm)

+ Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều là:

S_xq = p.d = 3a. = 6a² (cm²)

3. Bài tập hình chóp tam giác đều

Bài 1: Hình chóp tam giác là hình có:

1. 3 cạnh
2. 4 cạnh
3. 5 cạnh
4. 6 cạnh

Bài 2: Trong hình chóp tam giác S.ABC, giao tuyến của mặt phẳng (ABC) với mặt phẳng (SBC) là:

1. Đường thẳng SA
2. Đường thẳng AC
3. Đường thẳng AB
4. Đường thẳng BC

Bài 3: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có AB = 2a cm, SA = 3a cm. Diện tích toàn phần của hình chóp tam giác đều là:

1. S_tp = ()a² cm²
2. S_tp = ()a² cm²
3. S_tp = ()a² cm²
4. Đáp số khác

Bài 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có AB = 2a cm, SA = 3a cm. Thể tích của hình chóp tam giác đều là:

1. V = cm³
2. V = cm³
3. V = cm³
4. Đáp số khác

Bài 5: Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a. Tam giác ABC vuông cân tại A có AB = a. Thể tích của hình chóp tam giác S.ABC là:

1. V =
2. V =
3. V =
4. V =

Bài 6: Trong hình chóp tam giác đều S.ABC, khi chiều cao tăng gấp 3 lần và các yếu tố khác không thay đổi thì:

1. Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều tăng gấp 3 lần
2. Diện tích toàn phần của hình chóp tam giác đều tăng gấp 3 lần
3. Thể tích của hình chóp tam giác đều tăng gấp 3 lần
4. Diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp tam giác đều tăng gấp 3 lần

Như vậy, qua bài viết này, chúng ta đã tìm hiểu về định nghĩa, tính chất cơ bản và công thức tính diện tích, thể tích của hình chóp tam giác đều. Bên cạnh đó, các bài tập ứng dụng cung cấp cơ hội thực hành và áp dụng kiến thức vào các vấn đề thực tế. Hy vọng rằng bài viết này đã giúp bạn nắm vững kiến thức về hình chóp tam giác đều và khám phá sự ứng dụng của nó trong thực tế.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang