Hàm số y = cotx: Khái niệm và tính chất trong toán học

Hàm số lượng giác là một nội dung quan trọng trong chương trình môn Toán lớp 11. Trong các bài học trước, các em đã được tìm hiểu lần lượt về các hàm số lượng giác y = sinx, y = cosx, y = tanx. Trong bài học ngày hôm nay, các em sẽ được tìm hiểu về hàm số lượng giác còn lại. Đó là hàm số y = cotx cùng một số vấn đề liên quan. Để hiểu rõ hơn các em hãy cùng đi vào tìm hiểu bài viết sau đây.

1. Định nghĩa hàm số y = cotx

• Với mỗi số thực x mà sinx 0 nghĩa là x k , k Z. Ta xác định được số thực cotx = .

Đặt D₂ = R \ {k | k Z}

• Quy tắc đặt tương ứng mỗi số x D₂ với số thực cotx = được gọi là hàm số cotang.
• Kí hiệu: y = cotx

2. Các vấn đề trọng tâm về hàm số y = cotx

• Hàm số y = cotx có tập xác định D₂ = R \ {k | k Z}
• Hàm số y = cotx có tập giá trị là R
• Hàm số y = cotx là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì
• Hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng (), k Z
• Hàm số y = cotx có đồ thị nhận mỗi đường thẳng x = k , k Z làm một đường tiệm cận
• Đồ thị của hàm số y = cotx có dạng như sau:

3. Một số dạng toán điển hình về hàm số y = cotx

3.1. Tìm tập xác định của hàm số y = cotx

Ví dụ: Tìm tập xác định của hàm số y = cot(2x + )

Giải

Hàm số y = cot(2x + ) xác định

sin(2x + ) 0

2x + k

2x + k

x + k , k Z

Vậy, tập xác định của hàm số y = cot(2x + ) là D = R \ { + k | k Z}

3.2. Tính chẵn, lẻ của hàm số trong đó có sự xuất hiện của hàm số y = cotx

* Nhắc lại một số nội dung bài cũ:

+ Hàm số y = f(x) có tập xác định là D được gọi là hàm số chẵn nếu với mọi x D ta có -x D và f(-x) = f(x)

+ Hàm số y = f(x) có tập xác định là D được gọi là hàm số lẻ nếu với mọi x D ta có -x D và f(-x) = -f(x)

+ Hàm số y = cosx là hàm số chẵn (có cos(-x) = cosx) đã được đề cập ở những nội dung bài học trước

+ Hàm số y = sinx, y = tanx là những hàm số lẻ (lần lượt có sin(-x) = -sinx và tan(-x) = -tanx) đã được đề cập ở những nội dung bài học trước. Còn bài học hôm nay, hàm số y = cotx cũng là một hàm số lẻ (có cot(-x) = -cotx)

Ví dụ: Hàm số y = x³.cotx là hàm số chẵn hay hàm số lẻ? Tại sao?

Giải

Hàm số y = x³.cotx có tập xác định là D = R \ {k | k Z}

Đặt f(x) = x³.cotx

Với mọi x D ta có -x D và:

f(-x) = (-x)³.cot(-x)

= (-x³).(-cotx)

= x³.cotx

= f(x)

Vậy, hàm số y = x³.cotx là hàm số chẵn

4. Bài tập về hàm số y = cotx

Bài 1: Cho hàm số y = x.cosx + cotx và các phát biểu sau:

(1) Hàm số y = x.cosx + cotx có tập xác định là D = R

(2) Hàm số y = x.cosx + cotx có tập xác định là D = R \ {k | k Z}

(3) Hàm số y = x.cosx + cotx là làm số chẵn

(4) Hàm số y = x.cosx + cotx là hàm số lẻ

(5) Hàm số y = x.cosx + cotx không là hàm số chẵn, cũng không là hàm số lẻ

Trong các phát biểu trên, phát biểu đúng là:

1. (1), (3)
2. (2), (3)
3. (2), (4)
4. (2), (5)

Bài 2: Hàm số y = cot(5x + ) xác định khi:

1. x k , k Z
2. x + k , k Z
3. x + k , k Z
4. A, B, C đều sai

Bài 3: Cho hàm số y = cot2x. Trong các phát biểu sau đây, phát biểu sai là:

1. Hàm số y = cot2x là một hàm số lượng giác
2. Hàm số y = cot2x là một hàm số lẻ
3. Hàm số y = cot2x có tập giá trị là R
4. Hàm số y = cot2x xác định khi x k , k Z

Bài 4: Hàm số y = 5.cot( + ) xác định khi:

1. x k , k Z
2. x + k2 , k Z
3. x + k2 , k Z
4. x + k , k Z

Bài 5: Cho hàm số y = cotx + x⁵         (1)         

và hàm số y = sinx.cosx - cotx            (2)

Phát biểu đúng là:

1. (1) là hàm số chẵn, (2) là hàm số lẻ
2. (1) là hàm số lẻ, (2) là hàm số chẵn
3. (1) và (2) là hàm số lẻ
4. (1) và (2) là hàm số chẵn

Trên đây là phần tóm tắt lý thuyết của hàm số y = cotx và một số vấn đề liên quan. Mong rằng thông qua bài viết, các em có thể hiểu đồng thời vận dụng vào việc giải quyết các bài tập tương tự. Ôn tập, chuẩn bị thật tốt cho các kì thi sắp tới.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang