Table of Contents
Thiết diện là gì? Muốn tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng ta phải làm như thế nào? Ở trong các bài học trước, ta đã biết cách tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng cùng với cách xác định giao tuyến của hai mặt phẳng nào đó. Dựa vào các kiến thức đã học đó, ta sẽ dễ dàng xác định được thiết diện của hình chóp với một mặt phẳng. Bài viết dưới đây VOH Giáo Dục sẽ trình bày về khái niệm và cách tìm thiết diện của hình chóp với một mặt phẳng cùng với các bài tập liên quan đến kiến thức này.
1. Thiết diện là gì?
Khái niệm thiết diện: Thiết diện (hay còn gọi là mặt cắt) của hình H nào đó được cắt bởi mặt phẳng (P) chính là phần chung của hình H và mặt phẳng (P).
Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P): Thiết diện của hình chóp được cắt bởi mặt phẳng (P) là một đa giác được giới hạn bởi các giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt hình chóp.
Chú ý: Có nhiều trường hợp mặt phẳng (P) không cắt hết tất cả các mặt của hình chóp mà có thể chỉ cắt một số mặt nào đó của hình chóp.
2. Cách tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng
Để tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) ta sẽ xác định theo thứ tự tất cả các giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt của hình chóp bằng những bước sau đây:
- Bước 1. Ta tìm điểm chung đã có của mặt phẳng (P) và hình chóp, từ đó xác định giao tuyến thứ nhất của mặt phẳng (P) với một mặt nào đó của hình chóp
- Bước 2. Trong mặt đó của hình chóp, ta cho giao tuyến thứ nhất vừa xác định cắt các cạnh của mặt này, từ đó ta xác định được những điểm chung tiếp theo của mặt phẳng (P) với các mặt còn lại của hình chóp. Khi đó, ta xác định được các giao tuyến tiếp theo với các mặt còn lại của hình chóp.
- Bước 3. Cứ tiếp tục thực hiện như vậy cho đến khi tất cả các giao tuyến vừa tìm được khép kín lại và tạo thành một đa giác, khi đó ta tìm được thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P).
3. Một số bài tập tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng
Bài 1. Thiết diện của hình chóp tứ giác S.MNPQ được cắt bởi mặt phẳng (SMN) là:
- Tứ giác MNPQ.
- Tam giác SPQ.
- Tam giác SNQ.
- Tam giác SMN.
ĐÁP ÁN
Vì tam giác SMN có các cạnh nằm trên các giao tuyến của mặt phẳng (SMN) với một số mặt của hình chóp S.MNPQ, nên tam giác SMN chính là thiết diện của hình chóp tứ giác S.MNPQ với mặt phẳng (SMN).
Chọn D.
Bài 2. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm I. Gọi H, K , T là ba điểm bất kỳ nằm trên đoạn thẳng SA, AD, DC. Em hãy:
a) Xác định giao điểm của mặt phẳng (HKT) với các cạnh bên của hình chóp S.ABCD.
b) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (HKT).
ĐÁP ÁN
Trong mặt phẳng (ABCD) gọi:
+ E là giao điểm của KT và AB,
+ F là giao điểm của KT và BC.
Trong mặt phẳng (SAB) gọi V là giao điểm của EH và SB.
Trong mặt phẳng (SBC) gọi U là giao điểm của FV và SC.
a) Ta có, giao điểm của mặt phẳng (HKT) với các cạnh bên SA, SB, SC của hình chóp S.ABCD lần lượt là H, V, U.
b) Từ những điều trên ta được:
+ (HKT) cắt (ABCD) tại giao tuyến KT,
+ (HKT) cắt (SAD) tại giao tuyến HK,
+ (HKT) cắt (SAB) tại giao tuyến HV,
+ (HKT) cắt (SBC) tại giao tuyến UV,
+ (HKT) cắt (SCD) tại giao tuyến TU.
Do đó, thiết diện của hình chóp S.ABCD được cắt bởi mặt phẳng (HKT) là ngũ giác HKTUV.
Bài 3. Cho hình chóp tứ giác S.MNPQ có đáy là hình thang MNPQ (với MN // PQ, MN > PQ). Gọi U, V lần lượt là trung điểm của 2 cạnh bên SN và SP. Em hãy:
a) Xác định giao điểm của mặt phẳng (MUV) với đường thẳng SQ.
b) Tìm thiết diện của hình chóp S.MNPQ được cắt bởi mặt phẳng (MUV).
ĐÁP ÁN
Trong mặt phẳng (MNPQ) gọi O là giao điểm của MP và NQ.
Trong mặt phẳng (SMP) gọi H là giao điểm của SO và MV.
Trong mặt phẳng (SQN) gọi K là giao điểm của UH và SQ.
a) Ta có, giao điểm của mặt phẳng (MUV) với đường thẳng SQ là điểm K.
b) Từ những điều trên ta được:
+ (MUV) cắt (SMN) tại giao tuyến MU,
+ (MUV) cắt (SNP) tại giao tuyến UV,
+ (MUV) cắt (SPQ) tại giao tuyến KV,
+ (MUV) cắt (SMQ) tại giao tuyến MK.
Do đó, thiết diện của hình chóp S.MNPQ được cắt bởi mặt phẳng (MUV) là tứ giác MUVK.
Bài 4. Cho hình chóp tứ giác S.MNPQ. Gọi 3 điểm H, K, T lần lượt nằm trên 3 đoạn thẳng MN, NP, SP sao cho 2 đường thẳng HK và MP không song song với nhau. Em hãy tìm thiết diện của hình chóp được cắt bởi mặt phẳng (HKT).
ĐÁP ÁN
Trong mặt phẳng (MNPQ) gọi:
+ E là giao điểm của HK và MP,
+ F là giao điểm của HK và QN,
+ O là giao điểm của NQ và MP.
Trong mặt phẳng (SMP) gọi:
+ V là giao điểm của ET và SM,
+ X là giao điểm của ET và SO.
Trong mặt phẳng (SQN) gọi U là giao điểm của FX và SQ.
Khi đó, từ những điều trên ta được:
+ (HKT) cắt (MNPQ) tại giao tuyến HK,
+ (HKT) cắt (SNP) tại giao tuyến KT,
+ (HKT) cắt (SPQ) tại giao tuyến TU,
+ (HKT) cắt (SMQ) tại giao tuyến UV,
+ (HKT) cắt (SMN) tại giao tuyến VH.
Do đó, thiết diện của hình chóp S.MNPQ được cắt bởi mặt phẳng (HKT) là ngũ giác HKTUV.
Bài 5. Cho hình chóp tứ giác S.MNPQ có đáy là hình vuông MNPQ và các cạnh bên có độ dài bằng nhau. Gọi 3 điểm H, K, T lần lượt là trung điểm của 3 cạnh bên SM, SN, SP. Em hãy tìm thiết diện của hình chóp được cắt bởi mặt phẳng (HKT).
ĐÁP ÁN
Trong mặt phẳng (MNPQ) gọi O là giao điểm của NQ và MP.
Trong mặt phẳng (SMP) gọi X là giao điểm của HT và SO.
Trong mặt phẳng (SQN) gọi V là giao điểm của KX và SQ.
Khi đó, từ những điều trên ta được:
+ (HKT) cắt (SNP) tại giao tuyến KT,
+ (HKT) cắt (SPQ) tại giao tuyến TV,
+ (HKT) cắt (SMQ) tại giao tuyến VH,
+ (HKT) cắt (SMN) tại giao tuyến HK.
Do đó, thiết diện của hình chóp S.MNPQ được cắt bởi mặt phẳng (HKT) là tứ giác HKTV.
Bài viết trên đã trình bày về khái niệm và cách tìm thiết diện của hình chóp với một mặt phẳng cùng với các bài tập liên quan đến kiến thức này. Hy vọng, dựa lượng kiến thức này các bạn sẽ tự tin hơn trong các bài tập tìm thiết diện.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang