Table of Contents
Dạng toán chứng minh tỉ lệ thức là một dạng bài tập nâng cao và hay gặp, ở dạng bài này ta cần phải xác định được các hướng giải quyết cụ thể và chính xác. Vậy để giúp các em làm bài tập dạng này một cách nhanh chóng và dễ dàng hơn, bài viết sau đây sẽ trình bày chi tiết cho các em về các phương pháp giải bài toán chứng minh tỉ lệ thức này.
1. Các cách chứng minh tỉ lệ thức
Để chứng minh một tỉ lệ thức nào đó, ta thường sử dụng một trong các cách sau đây:
- Cách 1:
Cho
- Cách 2:
Nếu mq = np và m, n, p, q đều khác 0 thì ta được các tỉ lệ thức sau:
- Cách 3:
Với số k bất kỳ, ta đặt
Thay m = kn và p = kq vào hai vế của tỉ lệ thức cần chứng minh, sau đó ta thực hiện biến đổi từng vế một của tỉ lệ thức và đưa hai vế về cùng một kết quả, từ đó ta được điều phải chứng minh.
- Cách 4:
Với n và q khác 0. Ta sử dụng các tính chất về dãy tỉ số bằng nhau sau để chứng minh tỉ lệ thức mà đề bài yêu cầu chứng minh:
+ Từ dãy tỉ số bằng nhau
+ Từ dãy tỉ số bằng nhau
- Cách 5:
Với n, q và a đều khác 0. Ta cũng có thể sử dụng các tính chất cơ bản sau để chứng minh tỉ lệ thức:
2. Một số bài tập vận dụng phương pháp chứng minh tỉ lệ thức
Bài 1. Biết tỉ lệ thức sau
a)
b)
ĐÁP ÁN
a) Ta sử dụng Cách 1 nêu ở trên để chứng minh:
Từ giả thiết có
Ta có: (2m + p).(2n – q)
= 4mn – 2mq + 2pn – pq
= 4mn – 2np + 2pn – pq (do mq = np)
= 4mn – 2np + 2np – pq
= 4mn - pq.
Lại có: (2n + q).(2m – p)
= 4nm – 2np + 2qm – qp
= 4mn – 2mq + 2mq – pq (do mq = np)
= 4mn - pq.
Khi đó, ta suy ra (2m + p).(2n – q) = (2n + q).(2m – p) (cùng bằng 4mn - pq).
Vậy ta được
b) Ta sử dụng Cách 1 nêu ở trên để chứng minh:
Từ giả thiết có
Ta có: (4m + 7n).(4p – 7q)
= 16mp – 28mq + 28np – 49nq
= 16mp – 28np + 28np – 49nq (do mq = np)
= 16mp – 49nq.
Lại có: (4m - 7n).(4p + 7q)
= 16mp + 28mq - 28np – 49nq
= 16mp + 28np - 28np – 49nq (do mq = np)
= 16mp – 49nq.
Khi đó, ta suy ra (4m + 7n).(4p – 7q) = (4m - 7n).(4p + 7q) (cùng bằng 16mp – 49nq).
Vậy ta được
Bài 2. Biết rằng mq = np. Hãy chứng minh các tỉ lệ thức sau đây:
a)
b)
ĐÁP ÁN
a) Ta sử dụng Cách 2 và Cách 3 nêu ở trên để chứng minh:
Từ giả thiết có mq = np, từ đó ta suy ra
Đặt k =
Ta có: (n – 5q).(m + 5p)
= nm + 5np – 5qm – 25qp
= nm + 5nkq - 5qkn – 25qp (thay m = kn, p = kq)
= nm + 5nkq – 5nkq – 25qp
= nm – 25qp.
Lại có: (m – 5p).(n + 5q)
= mn + 5mq – 5pn – 25pq
= mn + 5knq – 5kqn – 25pq (thay m = kn, p = kq)
= nm + 5knq – 5knq – 25qp
= nm – 25qp.
Khi đó, ta suy ra (n – 5q).(m + 5p) = (m – 5p).(n + 5q) (cùng bằng nm – 25qp).
Vậy ta được
b) Ta sử dụng Cách 2 và Cách 3 nêu ở trên để chứng minh:
Từ giả thiết có mq = np, từ đó ta suy ra
Đặt k =
Ta có: (2m + 3n).(2p – 3q)
= 4mp – 6mq + 6np – 9nq
= 4mp – 6knq + 6nkq – 9nq (thay m = kn, p = kq và giữ nguyên 4mp)
= 4mp – 9nq.
Lại có: (2m - 3n).(2p + 3q)
= 4mp + 6mq - 6np – 9nq
= 4mp + 6knq - 6nkq – 9nq (thay m = kn, p = kq và giữ nguyên 4mp)
= 4mp – 9nq.
Khi đó, ta suy ra (2m + 3n).(2p – 3q) = (2m - 3n).(2p + 3q) (cùng bằng 4mp – 9nq).
Vậy ta được
Bài 3. Biết tỉ lệ thức sau đây
ĐÁP ÁN
Ta sử dụng Cách 4 - tính chất về dãy tỉ số bằng nhau và Cách 5 nêu ở trên để chứng minh:
Từ giả thiết có
Ta suy ra
Ta lại áp dụng tính chất về dãy tỉ số bằng nhau cho tỉ lệ thức
Từ (1) và (2), ta suy ra
Bài 4. Cho biết
ĐÁP ÁN
Ta sử dụng Cách 4 - tính chất về dãy tỉ số bằng nhau và Cách 5 nêu ở trên để chứng minh:
Từ giả thiết có
hay
hay
Ta lại áp dụng tính chất về dãy tỉ số bằng nhau cho tỉ lệ thức
Từ (1) và (2), ta suy ra
Bài 5. Cho biết
ĐÁP ÁN
Ta sử dụng Cách 4 và Cách 5 nêu ở trên để chứng minh:
Từ giả thiết có
Khi đó, ta có
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
Từ (1) và (2), ta suy ra
Bài viết trên đã nêu ra một số phương pháp giải các dạng toán về chứng minh tỉ lệ thức thuộc dạng toán nâng cao lớp 7, với những phương pháp giải đã nêu trong bài viết trên, hy vọng các em sẽ dễ dàng hơn trong việc giải những bài tập thuộc dạng này và chứng minh được các tỉ lệ thức từ cơ bản đến nâng cao một cách nhanh chóng hơn.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang