Các dấu hiệu nhận biết hình thang cân chi tiết A-Z

Hình thang cân là một loại hình rất phổ biến trong đời sống xung quanh ta và nó cũng có vai trò quan trọng trong kiến thức Toán 8. Vậy hình thang cân có những dấu hiệu và đặc điểm nhận biết quan trọng nào giúp chúng ta dễ xác đinh được nó? Mời các em học sinh hãy dõi theo cùng với VOH Giáo Dục tìm hiểu thêm về dấu hiệu nhận biết hình thang cân qua bài viết dưới đây nhé.

1. Các dấu hiệu nhận biết hình thang cân

Dưới đây là hai dấu hiệu nhận biết hình thang cân:

(1) Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau thì hình thang đó là hình thang cân.

Cụ thể: Cho hình thang MNPQ với MN // PQ có cặp góc bằng nhau sau (hoặc ). Khi đó hình thang MNPQ là hình thang cân.

(2) Hình thang có hai đường chéo bằng nhau thì hình thang đó là hình thang cân.

Cụ thể: Cho hình thang MNPQ với MN // PQ có hai đường chéo bằng nhau sau MP = NQ. Khi đó hình thang MNPQ là hình thang cân.

2. Chứng minh cho các dấu hiệu nhận biết hình thang cân

Chứng minh (1). Trong hình thang MNPQ có (hoặc ).

Do hai góc trên là hai góc kề cùng một đáy PQ (hoặc MN) nên theo định nghĩa của hình thang cân ta suy ra hình thang MNPQ là hình thang cân.

Chứng minh (2). Trong hình thang MNPQ có MP = NQ.

Gọi điểm O là giao điểm của hai đường chéo MP và NQ.

Qua điểm N ta kẻ đường thẳng song song với MP và cắt đường thẳng QP tại K.

Do MN // QP mà K nằm trên đường thẳng QP, nên MN // PK.

Suy ra tứ giác MNKP là hình thang.

Lại có NK // MP (theo cách dựng hình).

Khi đó hình thang MNKP có hai cạnh bên song song NK // MP thì hai cạnh bên bằng nhau NK = MP.

Mà MP = NQ (giả thiết), suy ra NK = NQ hay tam giác NKQ cân tại N.

Suy ra .  (1)

Vì MP // NK, nên ta có  (hai góc đồng vị).  (2)

Từ (1) và (2) suy ra hay .

Xét MPQ và NQP có:

+ MP = NQ (giả thiết)

+ (chứng minh trên)

+ QP là cạnh chung

Vậy MPQ = NQP (c.g.c).

Suy ra .

Do đó hình thang MNPQ là hình thang cân, do hình thang MNPQ có hai góc ở đáy bằng nhau .

Xem thêm: 

• Cách tính diện tích hình thang cân cực đơn giản
  
• Các tính chất hình thang cân chi tiết & cách áp dụng làm bài tập
  

3. Các dạng bài tập về dấu hiệu nhận biết hình thang cân

3.1. Dạng 1: Bài tập nhận biết hình thang cân

*Phương pháp giải:

Muốn nhận biết hình thang nào là hình thang cân ta có các cách xác định sau:

• Cách 1: Ta dùng thước đo độ thực hiện tìm số đo hai góc ở đáy của hình thang đó, nếu hai góc ở đáy có số số đo bằng nhau thì hình thang đó là hình thang cân.
• Cách 2: Đầu tiên ta vẽ hai đường chéo của hình thang đó. Sau đó, ta dùng thước thẳng thực hiện đo độ dài hai đường chéo của hình thang đó, nếu hai đường chéo có độ dài bằng nhau thì hình thang đó là hình thang cân.

Ví dụ 1. Cho các hình vẽ dưới đây, bằng định nghĩa, các dấu hiệu nhận biết và cách xác định hình thang cân ở trên, hãy tìm ra trong các hình đó hình nào là hình thang cân:

Lời giải

+ Dựa vào cách nhận biết hình thang đã học ta thấy EF // HG, do đó EFGH là hình thang.

Ta dùng thước đo độ thực hiện tìm số đo hai góc ở đáy của hình thang ta được: .

Vậy hình thang EFGH là hình thang cân.

+ Dựa vào cách nhận biết hình thang đã học ta thấy MN // QP, do đó MNPQ là hình thang.

Ta dùng thước thẳng thực hiện đo độ dài hai đường chéo của hình thang ta được: độ dài đường chéo MP không bằng độ dài đường chéo NQ.

Vậy hình thang MNPQ không phải là hình thang cân.

+ Dựa vào cách nhận biết hình thang đã học ta thấy AD // BC, do đó ADCB là hình thang.

Ta dùng thước thẳng thực hiện đo độ dài hai đường chéo của hình thang ta được: AC = DB.

Vậy hình thang ADCB là hình thang cân.

+ Dựa vào cách nhận biết hình thang đã học ta thấy trong tứ giác OKIT không có cặp cạnh đối nào bằng nhau. Do đó tứ giác OKIT không phải là hình thang.

Vậy tứ giác OKIT không phải là hình thang cân.

3.2. Dạng 2: Bài toán chứng minh tứ giác là hình thang cân

*Phương pháp giải:

Dựa vào gợi ý của đề bài và dựa vào các dấu hiệu nhận biết hình thang cân ở trên ta có thể chứng minh một tứ giác là hình thang cân.

Ví dụ 2. Cho hình thang MNPQ với MN // PQ có . Qua điểm Q ta kẻ đường thẳng song song với MP và cắt đường thẳng MN tại E. Hãy chứng minh hình thang MNPQ là hình thang cân.

Lời giải

Do MN // QP mà E nằm trên đường thẳng MN, nên EN // QP.

Suy ra tứ giác EMPQ là hình thang.

Lại có EQ // MP (theo cách dựng hình).

Khi đó hình thang EMPQ có hai cạnh bên song song EQ // MP thì hai cạnh bên bằng nhau EQ = MP. (1)

Vì EQ // MP nên suy ra (hai góc đồng vị).

Mà (giả thiết).

Do đó hay .

Khi đó tam giác EQN là tam giác cân tại Q.

Suy ra EQ = NQ.   (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra MP = NQ, mà MP và NQ là hai đường chéo của hình thang MNPQ.

Vậy hình thang MNPQ là hình thang cân.

4. Bài tập về dấu hiệu nhận biết hình thang cân lớp 8

Bài 1. Trong các điều kiện sau đây, điều kiện nào không phải là dấu hiệu để nhận biết hình thang cân?

1. Hình thang có hai góc ở đáy bằng 45 độ.
2. Hình thang có hai đường chéo bằng nhau.
3. Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau và bằng 3 cm.
4. Hình thang có hai đường chéo bằng 7 cm.

Bài 2. Cho hình thang MNPQ với MN // PQ có . Chứng minh rằng hình thang MNPQ là hình thang cân.

Bài viết trên đã trình bày cho các em một số dấu hiệu nhận biết của hình thang cân và bài tập luyện tập liên quan đến dạng này. Mong các em ghi nhớ các dấu hiệu đó và làm các bài dạng này đạt kết quả cao trong học tập.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang