Table of Contents
Chúng ta đã được tìm hiểu về tính chất hình bình hành, tính chất hình chữ nhật, tính chất hình thoi. Vậy hình vuông thì có những tính chất gì giống và khác với các hình đó? Cùng tìm hiểu tính chất của hình vuông qua bài viết dưới đây.
1. Nhắc lại định nghĩa hình vuông
- Hình vuông là tứ giác có 4 cạnh bằng nhau và 4 góc bằng nhau bằng 90 độ.
Ví dụ: Tứ giác MNPQ có
+ 4 cạnh bằng nhau MN = NP = PQ = QM
+ 4 góc vuông
Thì tứ giác MNPQ là hình vuông
- Hình vuông là một hình chữ nhật có 4 cạnh bằng nhau
Ví dụ MNPQ là hình chữ nhật có: 4 cạnh MN = NP = PQ = QM thì MNPQ là hình vuông
- Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông
Ví dụ: Khi MNPQ là hình thoi có MP = NQ thì MNPQ là hình vuông
2. Các tính chất hình vuông
- Có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau
- Có 4 cạnh bằng nhau
- Hai đường chéo bằng nhau, vuông góc và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
- Giao điểm của hai đường chéo vừa là tâm đường tròn nội tiếp vừa là tâm đường tròn ngoại tiếp.
- Mỗi đường chéo của hình vuông đều chia hình vuông thành hai phần có diện tích bằng nhau
- Các đường phân giác, trung tuyến, trung trực giao nhau tại 1 điểm
- Có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi
» Xem thêm:
3. Dạng bài tập liên quan đến tính chất hình vuông
3.1. Dạng 1: Câu hỏi trắc nghiệm củng cố lý thuyết về tính chất hình vuông
*Phương pháp giải:
Dựa vào định nghĩa, tính chất hình vuông để chọn đáp án đúng
Câu 1: Chọn đáp án đúng. Hình vuông là:
A. Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau
B. Tứ giác có 4 góc bằng nhau
C. Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau và 4 góc bằng nhau
D. Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau
ĐÁP ÁN
Dựa vào định nghĩa về hình vuông, ta chọn đáp án C
Câu 2: Hình vuông không có tính chất nào sau đây
A. Mỗi góc bằng 180 độ
B. Mỗi góc bằng 90 độ
C. Hai đường chéo bằng nhau
D. Hai đường chéo vuông góc
ĐÁP ÁN
Dựa vào các tính chất của hình vuông, ta chọn đáp án A
Câu 3: Một hình chữ nhật trở thành hình vuông khi
A. Có 4 cạnh bằng nhau
B. Có 4 góc bằng nhau
C. hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
D. Hai góc đối bằng nhau
ĐÁP ÁN
Dựa vào định nghĩa hình vuông nêu trên, ta chọn đáp án A
Câu 4: Tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp hình vuông là:
A. Giao điểm của hai cạnh kề
B. Một đỉnh bất kì của hình vuông
C. Trung điểm của một cạnh bất kì
D. Giao điểm của hai đường chéo
ĐÁP ÁN
Dựa vào tính chất hình vuông, ta chọn đáp án D
Câu 5: Chọn đáp án sai. Hình vuông có hai đường chéo
A. Vuông góc với nhau
B. Song song nhau
C. Bằng nhau
D. Cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
ĐÁP ÁN
Dựa vào tính chất của hình vuông, ta chọn đáp án B
3.2. Dạng 2: Bài tập chứng minh, tính toán áp dụng tính chất hình vuông
*Phương pháp giải:
Dựa vào định nghĩa, tính chất và yêu cầu đề bài để giải bài toán
Bài 1: Cho hình vuông ABCD. Gọi A là trung điểm của QP.
a) Chứng minh tam giác AMN cân tại A
b) Gọi AF là đường phân giác trong tam giác AMN. Chứng minh AF // MQ // NP
ĐÁP ÁN
a) Chứng minh tam giác AMN cân tại A
Xét tam giác MAQ và tam giác NAP có
AQ = AP (giả thiết)
NP = MQ ( vì MNPQ là hình vuông)
=>
=> MA = NA (cạnh tương ứng)
=> Tam giác MNA cân tại A (đpcm)
b) Chứng minh AF // MQ // NP
theo phần a, ta có: Tam giác MNA cân tại A
=> AF là đường phân giác đồng thời là đường cao
=>
Mà
Từ (1) và (2) => AF // MQ // NP(đpcm)
Bài 2: Cho một hình vuông MNPQ có cạnh MQ = QP = PN = NM = 4. Hai đường chéo cắt nhau tại G. Kẻ GH vuông góc với MQ, GI vuông góc với MN.
a) Tính độ dài MP, NQ, QG, MG, NG, GP
b) Tứ giác IGHM là hình gì? Vì sao?
ĐÁP ÁN
a) Tính độ dài MP, NQ, QG, MG, NG, GP
Áp dụng định lý Pytago vào tam giác MNQ vuông tại M, ta có:
NQ2 = NM2 + MQ2 = 42 + 42 = 32
=> NQ =
Mà MNPQ là hình vuông => MP = NQ =
MP và NQ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (tính chất hình vuông)
=> QG = MG = NG = GP =
b) Tứ giác IGHM là hình gì? Vì sao?
Ta có:
=> MNPQ là hình chữ nhật (1)
Lại có: MG = NG (tính chất hình vuông)
=> Tam giác MNG cân tại G => GI là đường cao đồng thời là trung tuyến
=> NI = MI = 2
MG = GQ (tính chất hình vuông)
=> Tam giác MNG cân tại G => GH là đường cao đồng thời là trung tuyến
=> MH = HQ = 2
=> IM = MH = 2
mà IM = GH, MH = IG (tính chất hình chữ nhật)
=> IM = MH = HG = GI (2)
Từ (1) và (2) => IGHM là hình vuông
Bài 3: Cho tam giác MNP vuông cân, NP = NM. Kẻ đường cao ND ( D thuộc MP), từ D kẻ đường vuông góc đến NP cắt NP tại E, kẻ đường vuông góc đến MN, cắt MN tại F.
a) Chứng minh NF = NE
b) Tứ giác NEDF là hình gì? Vì sao?
ĐÁP ÁN
* Nhắc lại tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền.
Tam giác MNP vuông cân, NP = NM => Tam giác MNP vuông cân tại N
a) Chứng minh NF = NE
Tam giác MNP vuông cân tại N => ND là đường cao đồng thời là đường trung tuyến
nên theo tính chất về đường trung tuyến trong tam giác vuông, ta có: ND = DM = DP =
=> Tam giác NDP cân tại D và tam giác NDM cân tại D
* Xét tam giác NDP cân tại D có:
DE là đường cao đồng thời là đường trung tuyến
=> EN = EP =
* Xét tam giác NDM cân tại D có:
DF là đường cao đồng thời là đường trung tuyến
=> FN = FM =
Mà MN = NP (giả thiết) (3)
Từ (1), (2), (3) => EN = FN (đpcm)
b) Tứ giác NEDF là hình gì? Vì sao?
Ta có:
=> NEDF là hình chữ nhật (4)
=> EN = DF và NF = DE
nà theo phần a, ta có: NE = NF => EN = DF = NF = DE (5)
Từ (4) và (5) => NEDF là hình vuông
Hy vọng bài viết này sẽ giúp các bạn học sinh hiểu rõ hơn về tính chất hình vuông để áp dụng làm các dạng bài tập liên quan.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang