Các dấu hiệu nhận biết hình thoi chi tiết từ A-Z

Hình ảnh hình thoi xuất hiện rất nhiều trong cuộc sống quanh ta và nó là một phần kiến thức mà các bạn học sinh đã gặp ở lớp dưới, ở lớp 8 này các bạn sẽ được tìm hiểu kĩ hơn về hình thoi. Dấu hiệu nhận biết hình thoi là gì? Và dấu hiệu nhận biết nào giúp ta nhanh chóng nhận biết được hình thoi? Bài viết này VOH Giáo Dục sẽ trình bày các dấu hiệu nhận biết hình thoi cùng với một số bài tập liên quan.

1. Dấu hiệu nhận biết hình thoi

Sau đây là các dấu hiệu nhận biết hình thoi:

(1) Tứ giác nào có bốn cạnh bằng nhau thì tứ giác đó là hình thoi.

Cho tứ giác MNPQ có bốn cạnh bằng nhau sau MN = NP = PQ = QM. Khi đó tứ giác MNPQ là hình thoi.

(2) Hình bình hành nào có hai cạnh kề bằng nhau thì hình bình hành đó là hình thoi.

Cho hình bình hành MNPQ có hai cạnh kề bằng nhau sau MN = MQ. Khi đó hình bình hành MNPQ là hình thoi.

(3) Hình bình hành nào có hai đường chéo vuông góc với nhau thì hình bình hành đó là hình thoi.

Cho hình bình hành MNPQ có hai đường chéo vuông góc với nhau sau MP NQ. Khi đó hình bình hành MNPQ là hình thoi.

(4) Hình bình hành nào có một đường chéo là đường phân giác của một góc thì hình bình hành đó là hình thoi.

Cho hình bình hành MNPQ có đường chéo MP là đường phân giác của góc M. Khi đó hình bình hành MNPQ là hình thoi.

2. Chứng minh dấu hiệu nhận biết hình thoi

Ta chứng minh các dấu hiệu nhận biết trên:

(1) Cho tứ giác MNPQ có bốn cạnh bằng nhau sau MN = NP = PQ = QM.

Theo định nghĩa hình thoi, vì MN = NP = PQ = QM, ta suy ra tứ giác MNPQ là hình thoi (đpcm).

(2) Cho hình bình hành MNPQ có hai cạnh kề bằng nhau sau MN = MQ.

Do MNPQ là hình bình hành, nên theo tính chất hình bình hành ta có: MN = PQ và MQ = NP.

Mà MN = MQ (theo giả thiết).

Ta suy ra MN = MQ = NP = PQ.

Theo định nghĩa hình thoi, khi đó hình bình hành MNPQ là hình thoi.

(3) Cho hình bình hành MNPQ có hai đường chéo vuông góc với nhau sau MP NQ.

Gọi điểm I là giao điểm của hai đường chéo MP và NQ.

Do MNPQ là hình bình hành, nên theo tính chất hình bình hành ta có: MP và NQ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường hay MI = PI.

Xét vuông MIN và vuông PIN có:

+ MI = PI (chứng minh trên)

+

+ NI chung

Vậy MIN = PIN (c.g.c).

Suy ra MN = PN.    (1)

Vì MNPQ là hình bình hành, nên theo tính chất hình bình hành ta có: MN = PQ và MQ = PN.  (2)

Vậy từ (1) và (2) ta được: MN = PQ = MQ = PN.

Theo định nghĩa hình thoi, khi đó hình bình hành MNPQ là hình thoi.

(4) Cho hình bình hành MNPQ có đường chéo MP là đường phân giác của góc M.

Suy ra .   (3)

Do MNPQ là hình bình hành, nên ta có MN // PQ, suy ra .  (4)

Từ (3) và (4) suy ra hay tam giác MQP là tam giác cân tại Q.

Ta suy ra MQ = PQ.  (*)

Vì MNPQ là hình bình hành, nên theo tính chất hình bình hành ta có: MN = PQ và MQ = PN.  (**)

Từ (*) và (**) ta được: MN = PQ = MQ = PN.

Theo định nghĩa hình thoi, khi đó hình bình hành MNPQ là hình thoi.

» Xem thêm:

• Các cách chứng minh hình thoi cực chi tiết, dễ hiểu
  
• Tính chất hình thoi cùng các bài tập vận dụng cực hay
  

3. Một số dạng toán liên quan đến dấu hiệu nhận biết hình thoi

3.1. Dạng 1: Nhận biết hình thoi

*Phương pháp giải:

Từ các dấu hiệu nhận biết đã nêu trên, để nhận biết được hình nào là hình thoi ta có các cách xác định sau:

• Cách 1: Dùng thước thẳng thực hiện đo bốn cạnh của tứ giác đó, nếu tứ giác đó có bốn cạnh bằng nhau thì tứ giác ấy là hình thoi.
• Cách 2: Trước tiên ta sử dụng cách nhận biết hình bình hành đã học, xác định được tứ giác đó là hình bình hành. Sau đó ta dùng thước thẳng thực hiện đo hai cạnh kề của hình bình hành đó, nếu chúng bằng nhau thì ta được hình thoi.
• Cách 3: Trước tiên ta sử dụng cách nhận biết hình bình hành đã học, xác định được tứ giác đó là hình bình hành. Sau đó ta dùng êke xác định xem hai đường chéo của hình bình hành đó có vuông góc với nhau hay không, nếu chúng vuông góc thì ta được hình thoi.
• Cách 4: Trước tiên ta sử dụng cách nhận biết hình bình hành đã học, xác định được tứ giác đó là hình bình hành. Sau đó ta dùng thước đo độ thực hiện đo hai góc tạo bởi một đường chéo với hai cạnh kề của hình bình hành đó, nếu hai góc đó bằng nhau thì ta được hình thoi.

Trong các cách xác định trên, Cách 1 là cách làm dễ sử dụng nhất, các cách sau ta tham khảo thêm.

3.2. Dạng 2: Chứng minh một tứ giác là hình thoi

*Phương pháp giải:

Muốn chứng minh một tứ giác là hình thoi, ta áp dụng các giả thiết đề bài đưa ra cùng với định nghĩa và các dấu hiệu nhận biết hình thoi đã đề cập ở trên.

Ví dụ 1. Cho hình hình bình hành MNPQ. Gọi điểm O là giao điểm của hai đường chéo MP và NQ. Biết MO = 3 cm, NO = 4 cm và QP = 5 cm. Chứng minh rằng hình hình bình hành MNPQ là hình thoi.

Lời giải

Vì MNPQ là hình bình hành, nên theo tính chất của hình bình hành ta có: MN = QP = 5 (cm).

Ta có:

MO² + NO² = 3² + 4² = 25.

MN² = 5² = 25.

Ta suy ra MO² + NO² = MN² hay tam giác MON là tam giác vuông tại O (theo định lý Pytago đảo).

Do đó MO vuông góc với NO hay MP vuông góc với NQ.

Vì MP và NQ là hai đường chéo của hình hình bình hành MNPQ.

Suy ra hình hình bình hành MNPQ là hình thoi (có hai đường chéo vuông góc với nhau).

4. Bài tập áp dụng dấu hiệu nhận biết hình thoi lớp 8

Bài 1. Sử dụng định nghĩa và các dấu hiệu nhận biết hình thoi. Hãy chỉ ra trong các hình vẽ dưới đây hình nào là hình thoi. Giải thích tại sao?

Bài 2. Cho hình hình bình hành MNPQ. Gọi điểm O là giao điểm của hai đường chéo MP và NQ. Biết và . Chứng minh rằng hình hình bình hành MNPQ là hình thoi.

Bài viết trên đã giới thiệu đến các bạn cách chứng minh dấu hiệu nhận biết hình thoi kèm với đó là một số bài tập vận dụng. Hy vọng các bạn học sinh sẽ sử dụng thành thạo các dấu hiệu này để làm tốt các dạng bài tập liên quan.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang