Dấu hiệu nhận biết hình vuông là gì? Cách vận dụng vào bài tập

Chứng minh: Vì ABCD là hình chữ nhật (gt) ⇒ = 90^o và AB = CD; AD = BC (tính chất)

Mà AB = BC (gt) ⇒ AB = BC = CD = DA

Vậy tứ giác ABCD có  = 90^o và AB = BC = CD = DA nên ABCD là hình vuông (định nghĩa).

Chứng minh: Vì ABCD là hình chữ nhật (gt) ⇒ = 90^o ; AB = CD, AD = BC và O là trung điểm của AC, BD (tính chất)

Mà AC ⊥ BD tại O (gt) ⇒ BO là đường cao của ΔABC

Khi đó ΔABC có BO vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến ⇒ ΔABC cân tại B ⇒ AB = BC

Kết hợp với AB = CD, AD = BC ⇒ AB = BC = CD = DA

Vậy tứ giác ABCD có  = 90^o và AB = BC = CD = DA nên ABCD là hình vuông (định nghĩa).  

Chứng minh: Vì ABCD là hình chữ nhật (gt) ⇒ = 90^o và AB = CD, AD = BC; AD // BC (tính chất)

Vì AD // BC ⇒ = (hai góc so le trong)

Mà AC là phân giác của góc DAB ⇒ = . 

⇒ = (tính chất bắc cầu) 

⇒ ΔABC cân tại B ⇒ AB = BC (tính chất)

Kết hợp với AB = CD, AD = BC ⇒ AB = BC = CD = DA

Vậy tứ giác ABCD có  = 90^o và AB = BC = CD = DA nên ABCD là hình vuông (định nghĩa).

Chứng minh: Vì ABCD là hình thoi (gt) ⇒ AB = BC = CD = DA và (tính chất)

Mà  = 90^o ⇒ = 90°

+) Xét ΔABD có AB = AD (cmt) ⇒ ΔABD cân tại A

⇒ = 45°

+) Xét ΔCBD có CB = CD (cmt) ⇒ ΔCBD cân tại C

⇒ = 45°

 Do đó: = 45° + 45° = 90°

  = 45° + 45° = 90°

⇒ = 90°

Vậy tứ giác ABCD có  = 90° và AB = BC = CD = DA nên ABCD là hình vuông (định nghĩa).  

Vì ABCD là hình thoi (gt) mà AC cắt BD tại O ⇒ O là trung điểm của AC; BD và AC ⊥ BD tại O; AB = BC = CD = DA (tính chất) 

Mà AC = BD (gt) ⇒ OA = OB = OC = OD

⇒ ΔOAB vuông cân tại O ⇒ = 45°

Lại có AC, BD lần lượt là phân giác của góc A, B (tính chất hình thoi ABCD)

⇒ = 45° 

⇒ = 45° + 45° = 90°

Chứng minh tương tự ⇒ = 90°

Vậy tứ giác ABCD có  = 90^o và AB = BC = CD = DA nên ABCD là hình vuông (định nghĩa).

Vì M, N lần lượt là hình chiếu của D trên AB, AC (gt) ⇒ = 90°

Vì ΔABC vuông tại A (gt) ⇒ = 90°

Xét tứ giác AMDN có: = 90° (cmt)

⇒ Tứ giác AMDN là hình chữ nhật (dhnb)

Mà AD là phân giác của góc A (gt)

⇒ AMDN là hình vuông (dhnb)

Vì MNPQ là hình vuông (gt) ⇒ MN = NP = PQ = QM và = 90° (tính chất)

Mà MA = NB = PC = QD (gt) ⇒ AQ = BM = CN = DP (cộng trừ đoạn thẳng)

Xét ΔMAB và ΔQDA có:

MA = QD (gt)

 = 90° (cmt)

MB = QA (cmt)

⇒ ΔMAB = ΔQDA (cgc) ⇒ AB = AD (hai cạnh tương ứng) và (hai góc tương ứng).       (1)

Chứng minh tương tự ta được:

ΔQDA = ΔPCD (cgc) ⇒ AD = CD (hai cạnh tương ứng).    (2)

ΔPCD = ΔNBC (cgc) ⇒ CD = CB (hai cạnh tương ứng).    (3)

Từ (1), (2) và (3) ⇒ AB = BC = CD = DA ⇒ tứ giác ABCD là hình thoi (dhnb).      (∗)

Lại có: (cmt)

  = 90° (do ΔADQ vuông tại Q)

⇒ = 90°

Mà = 180° ⇒ = 90°.     (∗∗)

Từ (∗) và (∗∗) ⇒ ABCD là hình vuông (dhnb)

Vì ABCD là hình bình hành (gt) ⇒ AB = CD và AB // CD (tính chất)

Mà E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và AB = 2AD (gt) ⇒ AE = EB = CF = FD = AD và AE // DF

Xét tứ giác AEFD có AE = DF và AE // DF (cmt) ⇒ tứ giác AEFD là hình bình hành (dhnb).

Lại có: AE = AD (cmt) ⇒ AEFD là hình thoi (dhnb)

Để hình thoi AEFD là hình vuông ⇔ = 90° ⇔ Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật. 

Vậy điều kiện cần tìm là hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

Xét tứ giác AHBK có:

I là trung điểm của AB (gt)

I là trung điểm của HK (vì K đối xứng với H qua I)

⇒ AHBK là hình bình hành (dhnb) mà = 90° (vì AH là đường cao) ⇒ AHBK là hình chữ nhật (dhnb).

Để hình chữ nhật AHBK là hình vuông ⇔ BA là phân giác của  ⇔  = 45° 

Mà ΔABC cân tại A ⇔ ΔABC vuông cân tại A

Vậy điều kiện cần tìm là ΔABC vuông tại A.