Cách tính diện tích xung quanh của hình chóp đều & bài tập ứng dụng

Trong chương trình môn Toán lớp 8 phần Hình học, các em phải tiếp cận với nhiều nội dung kiến thức mới liên quan đến hình học không gian. Một trong số đó là những vấn đề liên quan tới hình chóp đều. Vậy công thức tính diện tích xung quanh hình chóp đều như thế nào? Để hiểu rõ hơn về những vấn đề nêu trên, chúng ta hãy cùng đi vào tìm hiểu bài viết sau đây

1. Hình chóp đều là gì?

Hình chóp đều là hình chóp có:

• Đáy là đa giác đều (tam giác đều, hình vuông, ...)
• Chân đường cao của hình chóp là tâm của đáy

Trong hình chóp đều, mỗi mặt bên là một tam giác cân

Ví dụ: Cho hình chóp đều S.ABC. Đây là hình chóp đều có đỉnh S, đáy ABC là tam giác đều, các mặt bên là các tam giác cân tại S ( tam giác SAB, SAC, SBC )

2. Công thức tính diện tích xung quanh của hình chóp đều

• Muốn tính diện tích xung quanh của hình chóp đều, ta lấy nửa chu vi đáy nhân với trung đoạn
• Công thức:  S_xq = p.d

Trong đó: p là nửa chu vi đáy; d là trung đoạn (chiều cao của mặt bên)

3. Một số ví dụ về diện tích xung quanh của hình chóp đều

Ví dụ: Cho hình chóp đều S.ABC, đáy là tam giác đều cạnh 4a (cm), cạnh bên có độ dài 5a (cm). Tính diện tích xung quanh của hình chóp đều

Giải

Vì tam giác ABC là tam giác đều cạnh 4a (cm) nên chu vi tam giác ABC là:

4a.3 = 12a (cm)

Nửa chu vi tam giác ABC là:

12a : 2 = 6a (cm)

M là trung điểm BC nên MB = MC = BC : 2 = 4a : 2 = 2a (cm)

Tam giác SBC là tam giác cân tại S có SM là đường trung tuyến. Do đó, SM còn là đường cao

SM BC

Xét tam giác SMC vuông tại M có SC = 5a (cm); MC = 2a (cm). Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

SC² = SM² + MC²

SM² = SC² - MC²

SM² = (5a)² - (2a)²

SM² = 25a² - 4a²

SM² = 21a²

SM =  a (cm)

Diện tích xung quanh của hình chóp đều S.ABC là:

S_xq = p.d = 6a. a = 6 a² (cm²)

Ví dụ: Cho hình chóp đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh 2a (cm), cạnh bên có độ dài là 3a (cm). Tính diện tích xung quanh của hình chóp đều

Giải

Vì ABCD là hình vuông cạnh 2a (cm) nên chu vi hình vuông ABCD là:

2a.4 = 8a (cm)

Nửa chu vi hình vuông ABCD là:

8a : 2 = 4a (cm)

Gọi K là trung điểm của CD. Khi đó, KC = KD = CD : 2 = a (cm)

Tam giác SCD là tam giác cân tại S, có SK là trung tuyến nên SK còn là đường cao

SK CD

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác SKD vuông tại K, ta có:

SD² = SK² + KD²

SK² = SD² - KD²

SK² = (3a)² - a²

SK² = 9a² - a²

SK² = 8a²

SK = 2 a (cm)

Diện tích xung quanh của hình chóp đều S.ABCD là:

S_xq = p.d = 4a.2 a = 8 a² (cm²)

4. Bài tập trắc nghiệm về diện tích xung quanh của hình chóp đều

Bài 1: Hình chóp đều S.ABC có chu vi đáy 30 cm, trung đoạn 8 cm. Diện tích xung quanh của hình chóp đều S.ABC bằng

1. 240 cm
2. 480 cm
3. 120 cm
4. 300 cm

Bài 2: Cho hình chóp đều S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông có diện tích 121 cm², chiều cao mặt bên là 10cm. Diện tích xung quanh của hình chóp đều S.ABCD là

1. 440 cm
2. 220 cm
3. 440 cm²
4. 220 cm²

Bài 3: Cho hình chóp đều S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a (cm), SO = 2a (cm). Diện tích xung quanh của hình chóp đều S.ABCD là

1. 17a² cm²
2.  a² cm²
3. 15a² cm²
4.  a² cm²

Bài 4: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 4a (cm), chiều cao mặt bên là 5a (cm). Hình chóp đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là 4a (cm), chiều cao mặt bên là 5a (cm). Tỉ số diện tích xung quanh của hình chóp đều S.ABCD và S.ABC là

1. 1

Bài 5: Cho hai hình chóp tam giác đều. Hình chóp đều thứ nhất có nửa chu vi và trung đoạn lần lượt là p₁; d₁. Hình chóp đều thứ hai có nửa chu vi và trung đoạn lần lượt là p₂; d₂. Biết p₁ = 3p₂; d₂ = 2d₁ và diện tích xung quanh của hình chóp đều thứ nhất là 21 cm². Khi đó, diện tích xung quanh của hình chóp đều thứ hai bằng

1. Không thể xác định
2. 21 cm²
3. 126 cm²
4. 14 cm²

Bài viết trên trình bày công thức tính diện tính xung quanh của hình chóp đều cũng như các dạng bài toán điển hình về diện tích xung quanh của hình chóp đều. Mong rằng thông qua bài viết, các em có thể vận dụng làm nhiều bài tập hơn nữa cũng như ôn tập thật tốt để chuẩn bị cho các kỳ thi sắp tới.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang