Công thức tính thể tích hình chóp đều chi tiết nhất

Trong chương trình Toán lớp 8 các em sẽ được tìm hiểu về một số hình trong không gian, trong đó có hình chóp đều. Vậy làm thế nào để tính thể tích hình chóp đều? Bài viết dưới đây sẽ hướng dẫn các em cách tính diện tích hình chóp đều một cách chi tiết và dễ nhớ nhất. Các em hãy theo dõi nhé.

1. Nhắc lại khái niệm hình chóp đều

Hình chóp đều là một hình chóp có mặt đáy là một đa giác đều (tam giác đều, hình vuông, ...) và các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau có chung đỉnh.

Một số hình chóp đều thường gặp:

- Hình chóp tam giác đều. Hình chóp tam giác đều có các đặc điểm sau:

+ Đáy là tam giác đều.

+ Các mặt bên sẽ là các tam giác cân bằng nhau.

+ Chân đường cao trùng với tâm đường tròn đi qua các đỉnh của tam giác đều.

- Hình chóp tứ giác đều. Hình chóp tứ giác đều có các đặc điểm sau:

+ Đáy là hình vuông.

+ Các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau.

+ Chân đường cao trùng với tâm đường tròn đi qua các đỉnh của hình vuông (chính là giao điểm của hai đường chéo hình vuông).

» Xem thêm: Tổng hợp kiến thức về hình chóp đều và các dạng toán thường gặp

2. Công thức tính thể tích hình chóp đều

Để tính thể tích của hình chóp đều chúng ta có công thức:

Trong đó: S là diện tích đáy và h là chiều cao của hình chóp.

- Đối với hình chóp đều S.DEF ta có:

+ Đáy là tam giác đều DEF,

+ Chiều cao của hình chóp là SH với H là tâm đường tròn đi qua các đỉnh của tam giác DEF.

Khi đó ta có công thức tính thể tích hình chóp đều S.DEF là: . 

Để tính diện tích của tam giác đều DEF ta sử dụng công thức: với a là độ dài cạnh của tam giác đều.

- Đối với hình chóp đều S.MNPQ ta có:

+ Đáy là hình vuông MNPQ

+ Chiều cao của hình chóp là SO với O là tâm đường tròn đi qua các đỉnh của hình vuông MNPQ.

Khi đó ta có công thức tính thể tích hình chóp đều S.MNPQ là: .

Để tính diện tích của hình vuông MNPQ ta sử dụng công thức: S = a² với a là độ dài một cạnh của hình vuông.

3. Ví dụ thể tích của hình chóp đều

Ví dụ 1: Tính thể tích của một hình chóp tam giác đều, biết rằng chiều cao của hình chóp là 9 cm, tam giác đáy có cạnh 8 cm.

Giải.

Theo đề hình chóp đã cho là hình chóp tam giác đều nên đáy là tam giác đều.

Do đó diện tích của tam giác đáy là: .

Thể tích của hình chóp đó là: .

Ví dụ 2: Tính thể tích của một hình chóp tứ giác đều, biết rằng chiều cao của hình chóp là 21 cm, tứ giác đáy có cạnh 4 cm.

Giải.

Theo đề hình chóp đã cho là hình chóp tứ giác đều nên đáy là hình vuông.

Do đó diện tích đáy của hình chóp là: .

Thể tích của hình chóp đó là: .

4. Một số dạng toán liên quan đến tính thể tích hình chóp đều lớp 8

4.1. Dạng 1: Tính thể tích hình chóp đều biết một số yếu tố cho trước

*Phương pháp giải:

Để tính thể tích hình chóp đều chúng ta cần biết diện tích đáy và chiều cao của hình chóp đều.

+ Nếu đề cho biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy bằng R, thì ta tính được độ dài cạnh của tam giác đáy là: .

Từ đó ta tính được diện tích của tam giác đều là: .

+ Nếu đề cho biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác đáy (hình vuông) bằng R thì ta tính được độ dài một cạnh của hình vuông là: .

Từ đó ta tính được diện tích của hình vuông là: S = a².

Bài tập luyện tập

Bài 1. Tính thể tích của hình chóp tam giác đều biết rằng chiều cao của hình chóp gấp hai lần độ dài cạnh đáy và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy bằng 8.

Bài 2. Tính thể tích của hình chóp tứ giác đều biết rằng chiều cao của hình chóp bằng 12 cm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác đáy bằng một nửa chiều cao của hình chóp.

4.2. Dạng 2: Tính một số yếu tố của hình chóp đều khi biết thể tích của hình chóp đều

*Phương pháp giải:

Dựa vào dữ kiện đề bài cho ta có thể tích chiều cao và độ dài đáy của hình chóp đều theo công thức:

- Công thức tính chiều cao của hình chóp đều: .

- Công thức tính diện tich đáy của hình chóp đều: .

- Đối với đáy là tam giác đều ta có công thức tính diện tích là: . Sau đó ta thay diện tích hình chóp đã tính ở trên vào công thức. Từ đó suy ra được độ dài một cạnh của tam giác đáy.

- Đối với đáy là hình vuông ta có công thức tính diện tích là . Sau đó ta thay diện tích hình chóp đã tính ở trên vào công thức. Từ đó suy ra được độ dài một cạnh của hình vuông.

Bài tập luyện tập

Bài 1. Tính chiều cao của mỗi hình chóp đều dưới đây:

Bài 2. Tính độ dài đáy của mỗi hình chóp đều dưới đây:

Như vậy bài viết trên đã cung cấp cho các em công thức tính thể tích hình chóp đều và một số ví dụ cụ thể. Hy vọng qua đây các em có thể áp dụng thật tốt các phương pháp trên vào làm các bài toán liên quan đến dạng này.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang