Table of Contents
Ở trong các chuyên đề đã học, chúng ta đã được tìm hiểu về các phương pháp để phân tích một đa thức thành nhân tử như phương pháp đặt nhân tử chung, phương pháp dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ, phương pháp nhóm nhiều hạng tử với nhau. Vậy để phân tích những đa thức mà ta chưa thể áp dụng các phương pháp đã học trên, bài viết sau đây sẽ giới thiệu tới các em một phương pháp mới. Đó là: Phương pháp thêm bớt hạng tử.
1. Phương pháp thêm bớt hạng tử
Ta sẽ sử dụng phương pháp thêm bớt hạng tử để phân tích các đa thức chưa thể áp dụng các phương pháp như phương pháp đặt nhân tử chung, phương pháp dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ và phương pháp nhóm nhiều hạng tử với nhau.
Sau đây là cách sử dụng phương pháp thêm bớt hạng tử: Ta sẽ thêm vào và bớt đi ở trong đa thức đã cho cùng một hạng tử bất kỳ phù hợp nào đó để đa thức đã cho xuất hiện những hạng tử mà ta có thể sử dụng các phương pháp đã học để phân tích đa thức đó.
2. Các dạng toán về phương pháp thêm bớt hạng tử
2.1. Dạng 1: Đa thức chứa một số hạng tử có thành phần là bậc 4
∗ Phương pháp giải:
Đối với những đa thức chứa một số hạng tử có thành phần là bậc 4, thì ta sẽ thêm bớt hạng tử phù hợp nào đó để làm xuất hiện các hằng đẳng thức đáng nhớ như: (A + B)2 = A2 + 2AB +B2 và A2 – B2 = (A + B)(A – B).
Ví dụ 1: Em hãy sử dụng phương pháp thêm bớt hạng tử để phân tích đa thức P = x4 + 4 thành nhân tử.
Lời giải
Ta có P = x4 + 4
= x4 + 4x2 + 4 – 4x2
= [ (x2)2 + 2 . 2x2 + 22 ] – (2x)2
= (x2 + 2)2 – (2x)2
= (x2 + 2 – 2x) . (x2 + 2 + 2x).
Vậy P = x4 + 4 = (x2 + 2 – 2x) . (x2 + 2 + 2x).
2.2. Dạng 2: Đa thức có dạng x3a + 1 + x3b + 2 + 1
∗ Phương pháp giải:
Với những đa thức có dạng x3a + 1 + x3b + 2 + 1, thì ta sẽ thêm bớt các hạng tử phù hợp nào đó để làm xuất hiện nhân tử chung là: x2 + x + 1 hoặc x2 – x + 1.
Ví dụ 2: Em hãy sử dụng phương pháp thêm bớt hạng tử để phân tích đa thức Q = x10 + x5 + 1 thành nhân tử.
Lời giải
Ta có Q = x10 + x5 + 1
= x10 – x + x5 – x2 + x2 + x + 1
= (x10 – x) + (x5 – x2) + (x2 + x + 1)
= x(x9 – 1) + x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1)
= x(x3 – 1)(x6 + x3 + 1) + x2(x –1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= x(x –1)(x2 + x + 1)(x6 + x3 + 1) + x2(x –1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1) . [x(x –1)(x6 + x3 + 1) + x2(x –1) + 1]
= (x2 + x + 1) . (x8 – x7 + x5 – x4 + x3 – x + 1).
Vậy Q = x10 + x5 + 1 = (x2 + x + 1) . (x8 – x7 + x5 – x4 + x3 – x + 1).
3. Một số bài tập sử dụng phương pháp thêm bớt hạng tử
Bài 1. Em hãy sử dụng phương pháp thêm bớt hạng tử để phân tích đa thức M = x2 + 10x + 9 thành nhân tử.
ĐÁP ÁN
Ta có M = x2 + 10x + 9
= x2 + 10x + 25 – 25 + 9
= (x2 + 2.5x + 52) – 42
= (x + 5)2 – 42
= (x + 1) . (x + 9).
Vậy M = x2 + 10x + 9 = (x + 1) . (x + 9).
Bài 2. Em hãy sử dụng phương pháp thêm bớt hạng tử để phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) H = 36 + 9n4;
b) K = 4m4 + 16.
ĐÁP ÁN
a) Ta có H = 36 + 9n4 = 9n4 + 36
= 9n4 + 36n2 + 36 – 36n2
= [ (3n2)2 + 2.3.6n2 + 62 ] – (6n)2
= (3n2 + 6)2 – (6n)2
= (3n2 + 6 – 6n) . (3n2 + 6 + 6n).
Vậy H = (3n2 + 6 – 6n) . (3n2 + 6 + 6n).
b) Ta có K = 4m4 + 16
= 4m4 + 16m2 + 16 – 16m2
= [ (2m2)2 + 2.2.4m2 + 42 ] – (4m)2
= (2m2 + 4)2 – (4m)2
= (2m2 + 4 – 4m) . (2m2 + 4 + 4m).
Vậy K = 4m4 + 16 = (2m2 + 4 – 4m) . (2m2 + 4 + 4m).
Bài 3. Cho đa thức N = a4b4 + 4. Em hãy sử dụng phương pháp thêm bớt hạng tử để phân tích đa thức đã cho thành nhân tử.
ĐÁP ÁN
Ta có N = a4b4 + 4
= a4b4 + 4a2b2 + 4 – 4a2b2
= [ (a2b2)2 + 2.2.a2b2 + 22 ] – (2ab)2
= (a2b2 + 2)2 – (2ab)2
= (a2b2 + 2 – 2ab) . (a2b2 + 2 + 2ab).
Vậy N = a4b4 + 4 = (a2b2 + 2 – 2ab) . (a2b2 + 2 + 2ab).
Bài 4. Cho đa thức S = u4 + 64v4. Em hãy sử dụng phương pháp thêm bớt hạng tử để phân tích đa thức đã cho thành nhân tử.
ĐÁP ÁN
Ta có S = u4 + 64v4
= u4 + 16u2v2 + 64v4 – 16u2v2
= [ (u2)2 + 2.8.u2v2 + (8v2)2 ] – (4uv)2
= (u2 + 8v2)2 – (4uv)2
= (u2 + 8v2 – 4uv) . (u2 + 8v2 + 4uv).
Vậy S = u4 + 64v4 = (u2 + 8v2 – 4uv) . (u2 + 8v2 + 4uv).
Bài 5. Cho đa thức T = t7 + t2 + 1. Em hãy sử dụng phương pháp thêm bớt hạng tử để phân tích đa thức đã cho thành nhân tử.
ĐÁP ÁN
Ta có T = t7 + t2 + 1
= t7 – t + t2 + t + 1
= t(t6 – 1) + (t2 + t + 1)
= t(t3 – 1)(t3 + 1) + (t2 + t + 1)
= t(t –1)( (t2 + t + 1))( t3 + 1) + (t2 + t + 1)
= (t2 + t + 1) . [t(t –1)( t3 + 1) + 1]
= (t2 + t + 1) . (t5 – t4 + t2 – t + 1).
Vậy T = t7 + t2 + 1 = (t2 + t + 1) . (t5 – t4 + t2 – t + 1).
Tóm lại, bài viết trên đã sẽ giới thiệu tới các em học sinh một phương pháp mới để phân tích đa thức thành nhân tử: phương pháp thêm bớt hạng tử. Qua đó, hy vọng bài viết sẽ giúp các em làm được các dạng bài toán phân tích đa thức thành nhân tử một cách dễ dàng hơn. Chúc các em thành công!
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang