Các công thức biến đổi căn thức mà bạn cần học

Trong bài học hôm nay, chúng ta sẽ tìm hiểu một khái niệm mới: căn thức bậc hai, bên cạnh đó tổng hợp các công thức biến đổi căn thức bậc hai để áp dụng vào giải toán.

1. Ôn lại căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

Căn thức bậc hai là biểu thức có dạng: , căn thức có ý nghĩa khi:

được gọi là căn bậc hai của A hay căn A.

Ví dụ 1:

là các căn thức bậc 2.

Ta có định lý đối với căn thức bậc hai như sau.

Định lý: 

Với mọi a, ta có:

Ta nói: là căn bậc hai của

Xét một số ví dụ để hiểu rõ hơn về định lý trên.

Ví dụ 2:

Áp dụng định lý: với a = 6, ta được:

Mà 6 là số dương, nên giá trị tuyệt đối của nó là chính nó, vậy:

Ví dụ 3:

Áp dụng định lý: với a = 8, ta được:

Mà 8 là số dương, nên giá trị tuyệt đối của nó là chính nó, vậy:

Ví dụ 4:

Áp dụng định lý: với a = -5, ta được:

Mà -5 là số âm, nên giá trị tuyệt đối của -5 là số đối của nó, vậy:

Ví dụ 5:

Đầu tiên, ta biến đổi căn thức như sau:

Lúc này ta đã có thể áp dụng định lý: với a = 7, ta được:

Mà 7 là số dương, nên giá trị tuyệt đối của nó là chính nó, vậy:

Ví dụ 6:

Áp dụng định lý: với a = , ta được:

Mà , nên giá trị tuyệt đối của là chính nó, vậy:

Ví dụ 7:

Áp dụng định lý: với a = , ta được:

Mà , nên giá trị tuyệt đối của là số đối của nó, vậy:

Từ định lý trên, chúng ta rút ra được một số công thức biến đổi căn thức như sau.

» Xem thêm: Căn thức bậc hai là gì? Các dạng bài tập về căn thức bậc hai

2. Các công thức biến đổi căn thức bậc hai

2.1. Khai phương một tích

Công thức biến đổi căn thức khai phương một tích như sau:

Với , ta có:

Lưu ý: Công thức trên có thể áp dụng với tích của nhiều số hoặc nhiều biểu thức.

Từ công thức trên, ta phát biểu được hai quy tắc như sau:

+ Quy tắc 1: Muốn tính căn bậc hai của một tích không âm, ta có thể tính căn bậc hai từng thừa số rồi lấy tích của chúng.

+ Quy tắc 2: Muốn tính tích các căn bậc hai của các số không âm, ta có thể tính tích các số dưới dấu căn với nhau, rồi lấy căn của tích đó.

Ví dụ 1 :

Áp dụng công thức biến đổi căn thức: khai phương một tích với , ta được:

Ví dụ 2:

Áp dụng công thức biến đổi căn thức: khai phương một tích với , , ta được:

Ví dụ 3:

Áp dụng công thức biến đổi căn thức: khai phương một tích với , ta được:

2.2. Khai phương một thương

Công thức biến đổi căn thức khai phương một thương như sau:

Với , ta có:

Lưu ý: Công thức trên có thể áp dụng với thương của nhiều số hoặc nhiều biểu thức.

Từ công thức trên, ta phát biểu được hai quy tắc như sau:

+ Quy tắc 1: Muốn tính căn bậc hai của một thương không âm, ta có thể tính căn bậc hai từng thừa số rồi lấy thương của chúng.

+ Quy tắc 2: Muốn tính thương các căn bậc hai của các số không âm, ta có thể tính thương các số dưới dấu căn với nhau, rồi lấy căn của thương đó.

Ví dụ 1:

Áp dụng công thức biến đổi căn thức: khai phương một tích với , ta được:

Ví dụ 2:

Áp dụng công thức biến đổi căn thức: khai phương một tích với , ta được:

2.3. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Công thức biến đổi căn thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn như sau:

Với , ta có:

Ví dụ 1:

Áp dụng công thức biến đổi căn thức: đưa thừa số ra ngoài dấu căn với , ta được:

Ví dụ 2:

Áp dụng công thức biến đổi căn thức: đưa thừa số ra ngoài dấu căn với , ta được:

2.4. Đưa thừa số vào trong dấu căn

Công thức biến đổi căn thức đưa thừa số vào trong dấu căn như sau:

Với , ta có:

Với ,  ta có:

Ví dụ 1:

Áp dụng công thức biến đổi căn thức: đưa thừa số vào trong dấu căn với , ta được:

Ví dụ 2:

Áp dụng công thức biến đổi căn thức: đưa thừa số vào trong dấu căn với , ta được:

2.5. Khử mẫu biểu thức lấy căn

Công thức biến đổi căn thức khử mẫu biểu thức lấy căn như sau:

với ,

Ví dụ 1:

Áp dụng công thức biến đổi căn thức: khử mẫu biểu thức lấy căn với , ta được:

Ví dụ 2:

Áp dụng công thức biến đổi căn thức: khử mẫu biểu thức lấy căn với , ta được:

2.6. Trục căn thức ở mẫu

Công thức biến đổi căn thức trục căn thức ở mẫu như sau:

 với

với ,

với , ,

Ví dụ 1:

Áp dụng công thức biến đổi căn thức: trục căn thức ở mẫu với , ta được:

Ví dụ 2:

Áp dụng công thức biến đổi căn thức: trục căn thức ở mẫu với , , ta được:

Ví dụ 3:

Áp dụng công thức biến đổi căn thức: trục căn thức ở mẫu với , , ta được:

3. Bài tập áp dụng các công thức biến đổi căn thức lớp 9

Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau áp dụng hằng đẳng thức

a.

b.

c.

d.

Bài 2: Áp dụng các công thức biến đổi căn thức để tính giá trị các biểu thức sau

a.

b.

c.

d.

Bài 3: Áp dụng các công thức biến đổi căn thức để rút gọn các biểu thức sau, biết: 

a. , biết

b. , biết

Bài 4: Áp dụng các công thức biến đổi căn thức để tính giá trị các biểu thức sau

a.

b.

Bài 5: Áp dụng các công thức biến đổi căn thức để tính giá trị biểu thức sau, biết

,

a.

b.

Vậy là chúng ta đã nắm được cách áp dụng các công thức biến đổi căn thức bậc hai lớp 9 vào giải toán. Hy vọng những kiến thức trong bài học này sẽ giúp ích cho các bạn học sinh trong các bài học tiếp theo.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang