Các dạng toán về rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Ở các bài học trước, ta đã tìm hiểu về hằng đẳng thức chứa căn thức bậc hai cùng một số quy tắc như khai phương một tích, khai phương một thương; nhân các căn bậc hai hay chia các căn bậc hai và cách đưa thừa số ra ngoài hay vào trong dấu căn. Bài viết này sẽ tổng hợp một số dạng toán về rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai bằng cách áp dụng các quy tắc ở bài học cũ. Hãy cùng VOH Giáo Dục theo dõi bài viết này nhé.

1. Cách rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Muốn rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai, ta cần biết vận dụng kết hợp các phép biến đổi như là: Sử dụng hằng đẳng thức chứa căn thức bậc hai , quy đồng mẫu thức, cùng một số quy tắc như khai phương một tích, khai phương một thương; nhân các căn bậc hai hay chia các căn bậc hai và sử dụng cách đưa thừa số ra ngoài hay vào trong dấu căn.

Ví dụ 1. Hãy rút gọn các biểu thức sau:

a) P = ;

b) N =   (với y > 0).

Lời giải

a) Ta có

P =

= (áp dụng cách đưa thừa số ra ngoài dấu căn)

=     (rút gọn các số hạng có chứa )

= .

Vậy ta được: P = .

b) Với y > 0, ta có

N =  (áp dụng quy tắc khai phương một thương)

= (áp dụng cách đưa thừa số ra ngoài dấu căn)

=     (rút gọn các số hạng có chứa )

= .

Vậy: Với y > 0, ta được N = .

2. Các dạng toán về rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

2.1. Dạng 1: Bài toán tính giá trị của biểu thức chứa căn thức bậc hai tại x = x₀

*Phương pháp giải:

Muốn tính giá trị của biểu thức chứa căn thức bậc hai, ta thực hiện như sau:

+ Đầu tiên, ta phải đi tìm điều kiện của x (nếu đề bài chưa cho điều kiện của x);

+ Tiếp theo, ta thực hiện rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai đã cho bằng cách vận dụng kết hợp các phép biến đổi đã học;

+ Cuối cùng, ta tính giá trị của biểu thức đã cho tại x = x₀.

Ví dụ 2. Cho biểu thức sau: M = (với x 0). Hãy tính giá trị của biểu thức M tại x = 2.

2.2. Dạng 2: Tìm các giá trị của x để biểu thức M thỏa mãn M > a; M < a hoặc M = a

*Phương pháp giải:

Muốn tìm tất cả các giá trị của x để biểu thức M thỏa mãn M > a; M < a hoặc M = a. Đầu tiên ta thực hiện rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai đã cho, cụ thể là M, bằng cách vận dụng kết hợp các phép biến đổi đã học. Sau đó ta tìm x dựa trên các điều kiện mà đề bài đã cho là M > a; M < a hoặc M = a.

Ví dụ 3. Cho biểu thức sau: M = (với x 1). Hãy tìm tất cả các giá trị của x để M = 9.

2.3. Dạng 3: Bài toán chứng minh đẳng thức

*Phương pháp giải:

Muốn chứng minh một đẳng thức nào đó, ta đi biến đổi từng vế của đẳng thức đó. Đầu tiên, ta quan sát cả hai vế của đẳng thức đó, vế nào ta thấy phức tạp hơn thì ta sẽ đi biến đổi vế đó bằng cách rút gọn nó. Sau khi ta biến đổi vế đó xong, khi đó nếu thấy hai vế bằng nhau thì ta kết luận đẳng thức được chứng minh.

Ví dụ 4. Hãy chứng minh đẳng thức sau đây: .

3. Một số bài tập về rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Bài 1. Cho biểu thức sau: Q = (với x > 0 và x khác 1).

a) Hãy rút gọn biểu thức đã cho;

b) Hãy tìm tất cả các giá trị của x để Q < 0.

Bài 2. Hãy chứng minh các đẳng thức sau đây:

a) ;

b) (với m > 0 và n > 0).

Bài viết trên đây đã trình bày cho các em cách rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai, cách tính giá trị của biểu thức chứa căn thức bậc hai và trình bày phương pháp chứng minh đẳng thức. Mong rằng, qua bài viết này các em có thể vận dụng thành thạo các phép biến đổi đã học để giải quyết các bài toán tương tự.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang