Căn thức bậc hai là gì? Các dạng bài tập về căn thức bậc hai

Ở bài học trước, ta đã tìm hiểu về khái niệm căn bậc hai số học. Vậy căn thức bậc hai là gì? Nó có dạng như thế nào? Bài viết này sẽ giúp các em tìm hiểu rõ hơn về khái niệm căn thức bậc hai. Đồng thời giới thiệu tới các em hằng đẳng thức và hướng dẫn các em cách tìm điều kiện để một biểu thức chứa căn thức bậc hai xác định, cách tính giá trị biểu thức và cách rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai.

1. Căn thức bậc hai là gì?

Với A là một biểu thức đại số, ta nói là căn thức bậc hai của A, còn biểu thức A được gọi là biểu thức lấy căn hoặc biểu thức dưới dấu căn.

Ví dụ 1:

+ là căn thức bậc hai của 11 và 11 là biểu thức dưới dấu căn.

+ là căn thức bậc hai của 5x và 5x là biểu thức dưới dấu căn.

+ là căn thức bậc hai của 6x – 5 và 6x – 5 là biểu thức lấy căn.

+ là căn thức bậc hai của x² + 10 và x² + 10 là biểu thức dưới dấu căn.

+ là căn thức bậc hai của 11 + 3x – 5x² và 11 + 3x – 5x² là biểu thức dưới dấu căn.

2. Hằng đẳng thức

Với mọi số a ta có .

Chú ý: Tổng quát, cho A là một biểu thức ta có , điều này có nghĩa là

• nếu A 0 (với A lấy giá trị không âm);
• nếu A < 0 (với A lấy giá trị âm).

3. Các dạng toán về căn thức bậc hai

3.1. Dạng 1: Bài toán tìm điều kiện của x để biểu thức chứa căn thức bậc hai xác định

*Phương pháp giải:

Cho căn thức bậc hai . Khi đó

+ xác định (hoặc có nghĩa) khi A lấy giá trị không âm.

+ xác định (hoặc có nghĩa) khi A lấy giá trị dương.

Ví dụ 2: Em hãy tìm tất cả các giá trị của x để các biểu thức sau đây xác định: và .

Lời giải

+ Căn thức bậc hai xác định khi 2x – 4 0 2x 4 x 2.

Vậy với x 2 thì căn thức bậc hai đã cho xác định.

+ Biểu thức xác định khi 3 – x > 0 x < 3.

Vậy với x < 3 thì căn thức bậc hai đã cho xác định.

» Xem thêm: Cách tìm điều kiện để căn thức có nghĩa & bài tập vận dụng

3.2. Dạng 2: Bài toán tính giá trị biểu thức và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

* Phương pháp giải:

Để tính giá trị của biểu thức hoặc rút gọn một biểu thức chứa căn thức bậc hai, ta áp dụng hằng đẳng thức , điều này có nghĩa là

• nếu A 0 (với A lấy giá trị không âm);
• nếu A < 0 (với A lấy giá trị âm).

Ví dụ 3: Hãy tính giá trị của các biểu thức sau: và .

Lời giải

+ Ta có = |2,4| = 2,4.

+ Ta có = |– 7,7| = 7,7.

Ví dụ 4: Hãy rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai sau: .

Lời giải

Ta có = |4 – | = – 4 (vì > 4).

Vậy = – 4.

3.3. Dạng 3: Bài toán tìm giá trị x

*Phương pháp giải:

Để tìm tất cả giá trị x của phương trình chứa căn thức bậc hai, ta áp dụng hằng đẳng thức .

Ví dụ 5: Hãy tìm x biết .

Lời giải

Ta có .

+ Với  4x = 8 khi và chỉ khi x = 2.

+ Với  4x = – 8 khi và chỉ khi x = – 2.

Vậy x = 2; x = – 2.

4. Một số bài tập căn thức bậc hai lớp 9

Bài 1. Cho căn thức bậc hai . Em hãy cho biết, biểu thức 12 – 5x được gọi là gì?

1. Biểu thức dưới dấu căn
2. Biểu thức căn
3. Biểu thức lấy căn
4. A và C đều đúng

Bài 2. Em hãy tìm tất cả các giá trị của x để các căn thức bậc hai dưới đây xác định.

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) .

Bài 3. Hãy tính giá trị của các biểu thức sau: ; ; và .

Bài 4. Tìm tất cả các giá trị của x để .

1. x = 3
2. x = – 3
3. x = 3 hoặc x = – 3
4. Các đáp án trên đều sai

Bài 5. Hãy rút gọn các biểu thức chứa căn thức bậc hai sau đây:

a) với x > 0;

b) với x < 0;

c) với x < 0;

d) với x > 7.

Bài viết trên VOH Giáo Dục đã trình bày cho các em về định nghĩa căn thức bậc hai, đồng thời giới thiệu tới các em hằng đẳng thức và hướng dẫn các em cách tìm điều kiện để một biểu thức chứa căn thức bậc hai xác định... Hy vọng bài viết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về các khái niệm liên quan đến căn thức bậc hai và thực hành giải các bài toán liên quan một cách chính xác.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang