Phương trình vô tỉ là gì? Các phương pháp giải phương trình vô tỉ

Ở chương trình lớp 8, chúng ta đã biết đến phương pháp giải các phương trình cơ bản: phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình tích,.... Vậy với lớp 9 khái niệm về căn bậc hai, chúng ta sẽ được biết thêm các phương trình vô tỉ. Cùng VOH Giáo Dục tìm hiểu nội dung về các dạng bài tập và phương pháp giải phương trình vô tỉ trong bài viết dưới đây nhé.

1. Phương trình vô tỉ là gì?

- Các tính chất của luỹ thừa:   a = b ⇒ aⁿ = bⁿ

- Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm, tách, ...

- Cách giải một số phương trình cơ bản:

+) Phương trình bậc nhất một ẩn:   ax + b = 0 (a ≠ 0) ⇔ x = .

+) Phương trình tích: A(x) . B(x) = 0 ⇔ A(x) = 0 hoặc B(x) = 0.

+) Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối:

|A(x)| = m ⇔ A(x) = m hoặc A(x) = – m;

|A(x)| = |B(x)| ⇔ A(x) = B(x) hoặc A(x) = – B(x);

|A(x)| = B(x) ⇔ B(x) ≥ 0 và A(x) = B(x) hoặc A(x) = – B(x);

2. Các phương pháp giải phương trình vô tỉ và các dạng bài thường gặp

2.1. Phương pháp nâng lên luỹ thừa

∗ Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của luỹ thừa:  a = b ⇒ aⁿ = bⁿ để làm mất căn bậc hai.

Dạng 1: = m (m ≥ 0) ⇔ A(x) = m² (bình phương hai vế)

Ví dụ: Giải phương trình: = 3.

Lời giải:

Ta có:  = 3

      ⇔   x – 6 = 3²

      ⇔   x – 6 = 9

      ⇔   x       = 9 + 6

      ⇔   x       = 15

Vậy nghiệm của phương trình là x = 15.

Bài tập áp dụng:

Bài 1: Phương trình: = 2 có nghiệm là

A. x = 1

B. x = 2

C. x = – 1

D. x = – 2

Bài 2: Phương trình = 2 có tập nghiệm là

A. S = {1 ; 2}

B. S = {2 ; 3}

C. S = {1 ; – 4}

D. S = {2 ; 4}

Dạng 2: ⇔ .

Ví dụ: Giải phương trình: = 2x – 4

Lời giải:       

Ta có:  = 2x – 4

Vậy phương trình có nghiệm là x ∈ .

Bài tập áp dụng:

Bài 1: Phương trình  = x – 3 có tập nghiệm là:

A. S = {1;7}

B. S = {1}

C. S = {2;3}

D. S = {7}

Bài 2: Cho phương trình = 2x – 1. Phương trình có tập nghiệm là:

A. S = {1}

B. S = {2}

C. S = {1;}

D. S = {1;2}

Dạng 3: ⇔ .

Ví dụ: Giải phương trình: =

Lời giải:

Điều kiện: x – 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1.

Ta có:  =

⇔ x² – x – 4 = x – 1

⇔ x² – 2x – 3 = 0

⇔ (x + 1)(x – 3) = 0

.

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {3}.

Bài tập áp dụng:

Bài 1: Tìm tập nghiệm của phương trình: = 0.

A. S = {}

B. S = {3}

C. S = {3;}

D. S = ∅

Bài 2: Số nghiệm của phương trình  là:

A. 0

B. 1

C. 2

D. Vô số

2.2. Phương pháp trị tuyệt đối hoá

∗ Phương pháp giải:

Áp dụng lý thuyết về hằng đẳng thức: .

Dạng 1: = m (m ≥ 0) ⇔ |A| = m

Ví dụ: Giải phương trình: = 5

Lời giải:

Ta có:  = 5 

⇔ = 5

⇔ |x – 1| = 5

TH1: x – 1 = 5 ⇔ x = 6;

TH2: x – 1 = – 5 ⇔ x = – 4.

Vậy phương trình có tập nghiệm là S = {6; – 4}

Bài tập vận dụng:

Tìm số nghiệm của phương trình .

A. 0

B. 1

C. 2

D. vô số

Dạng 2: = B(x) ⇔ .

Ví dụ: Giải phương trình: .

Lời giải:

Điều kiện: 2x – 1 ≥ 0⇔ x ≥ .

Ta có:

⇔   = 2x − 1

⇔   |2x + 3| = 2x − 1

TH1: 2x + 3 = 2x − 1 ⇔ 0 = 4 (vô lí)

TH2: 2x + 3 = − 2x + 1 ⇔ 4x = − 2  ⇔ x = (loại)

Vậy phương trình vô nghiệm.

Bài tập áp dụng:

Giải phương trình − 9x + 1 = 0 ta được tập nghiệm là:

A. S = {}

B. S = {}

C. S = {}

D. S = { }

Tài liệu trên đã gửi tới các bạn một số dạng bài điển hình về phương trình vô tỉ. Nắm được phương pháp giải sẽ giúp các bạn học sinh giải quyết nhanh và chính xác các phương trình vô tỉ thường gặp. Chúc các bạn học sinh ôn tập hiệu quả!

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang