Bài 2: Hai Đường Thẳng Vuông Góc

I. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

1. Góc giữa hai vectơ trong không gian

Định nghĩa: Trong không gian cho 2 vectơ đều khác vectơ-không. Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là 2 điểm sao cho   Khi đó ta gọi góc là góc giữa 2 vectơ và  trong không gian,

kí hiệu là  (SGK, trang 93)

2. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

Định nghĩa: Trong không gian cho 2 vectơ đều khác vectơ-không. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian là một số thực, kí hiệu là , được xác định bởi:

 
Nếu  hoặc  thì ta qui ước   
Ví dụ 1: Cho tam giác . Chứng minh rằng:     
Giải:

Ta có:

  
Nhận xét: Ví dụ 1 cho ta một kết quả rất quan trọng: “Nếu một tam giác đã biết độ dài của 3 cạnh thì tích vô hướng của 2 vectơ có cùng điểm gốc (điểm gốc là một đỉnh của tam giác đó) đều được tính dễ dàng bởi đẳng thức trên”.

II. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

1. Định nghĩa:

Vectơ  khác vectơ-không được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của vectơ  song song hoặc trùng với đường thẳng d. (SGK, trang 94)

2. Nhận xét:

• Nếu  là vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì mọi vectơ  cũng là vectơ chỉ phương của d.
• Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu ta biết một điểm mà nó đi qua và vectơ chỉ phương của nó.
• Hai đường thẳng song song nhau khi chúng phân biệt và có vectơ chỉ phương cùng phương với nhau.

III. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian

1. Định nghĩa:

Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt cùng phương với a và b. (SGK, trang 95)

2. Nhận xét: 

+ Để xác định góc giữa 2 đường thẳng a và b trong không gian ta có thể lấy điểm O nằm trên một trong 2 đường thẳng, rồi kẻ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại.
+ Nếu  là vectơ chỉ phương của đường thẳng a và là vectơ chỉ phương của đường thẳng b và  thì góc giữa hai đường thẳng a và b sẽ bằng nếu và sẽ bằng nếu Nếu a song song hoặc trùng với b thì góc giữa chúng bằng

IV. Hai đường thẳng vuông góc

1. Định nghĩa:

Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng
Kí hiệu 2 đường thẳng a và b vuông góc nhau là:

2. Nhận xét: 

+ Trong không gian, hai đường thẳng vuông góc với nhau thì chúng có thể chéo nhau hoặc cắt nhau.
+ Nếu  là vectơ chỉ phương của đường thẳng a và là vectơ chỉ phương của đường thẳng b thì

---

Giáo viên biên soạn: Trần Thanh Hải

Đơn vị: Trường THCS - THPT Nguyễn Khuyến