Table of Contents
I. Định lí về tính chất của các điểm thuộc đường trung trực
1. Định lí 1 (định lí thuận)
Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó. (SGK trang 74)
| GT | M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB |
| KL | MA = MB |
2. Định lí 2 (định lí đảo)
Điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó. (SGK trang 75)
Chứng minh:
Trường hợp 1:
⇒ M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Trường hợp 2:
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Xét
MI là cạnh chung
IA= IB (I là trung điểm của AB)
Mà:
Vậy MI là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Nhận xét: Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.
II. Ứng dụng
Ta có thể vẽ đường trung trực của đoạn thẳng MN qua các bước sau:
- Vẽ cung tròn (M ; r),
- Vẽ cung tròn (N ; r)
- Hai cung tròn cắt nhau tại P và Q.
- Đường thẳng PQ chính là đường trung trực của đoạn thẳng MN.
» Chú ý:
- Bán kính r của hai cung tròn phải lớn hơn
- Giao điểm của đường thẳng PQ và đoạn thẳng AB chính là trung điểm của đoạn thẳng AB. Ta có thể dùng cách này để dựng trung điểm của một đoạn thẳng bằng thước và compa.
III. Bài tập luyện tập bài tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng của trường Nguyễn Khuyến
Bài 1: Cho là góc nhọn. Trên hai tia Ox, Oy lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho OM và ON không bằng nhau. Gọi I là giao điểm hai đường trung trực của OM và ON. Tam giác IMN là tam giác gì? Vì sao?
ĐÁP ÁN
.
Điểm I thuộc đường trung trực của đoạn thẳng OM nên: IO = IM
Điểm I thuộc đường trung trực của đoạn thẳng ON nên: IO = IN
Tam giác IMN có:
IM= IN (chứng minh trên)
Vậy tam giác IMN cân tại I.
Bài 2: Tam giác ABC có AB = 6dm, AC = 8dm, BC = 10dm.
a) Tam giác ABC là tam giác gì ? Vì sao?
b) Vẽ tại H, vẽ I sao cho BC là đường trung trực của đoạn thẳng AI. Lấy điểm K sao cho H là trung điểm của BK. Chứng minh: IK // AB.
c) Chứng minh:
d) Tính
ĐÁP ÁN
.
a) Ta có:
Vậy tam giác ABC vuông tại A (đl Pytago đảo)
b) Xét tam giác AHB và tam giác IHK có:
AH = HI (giả thiết)
HB = HK (H là trung điểm của BK)
Mà:
Vậy IK // AB.
c) Ta có:
Vậy
d) Xét tam giác BAC và tam giác BIC có:
BA = BI (B thuộc đường trung trực của AI)
CA = CI (C thuộc đường trung trực của AI)
BC là cạnh chung
Vậy
Bài 3: Cho là góc tù. Trên hai tia Ox, Oy lấy hai điểm E, F sao cho OE = OF. Hai đường trung trực của hai đoạn thẳng OE và OF cắt nhau tại D. Chứng minh:
a) OD là phân giác của
b) OD là đường trung trực của đoạn thẳng EF.
ĐÁP ÁN
.
a) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OE và OF.
OM = ME
ON = NF
Mà: OE = OF
Xét tam giác DOM và tam giác DON có:
DO là cạnh huyền chung
OM = ON (chứng minh trên)
Vậy OD là phân giác của
b) Ta có: DE = DO (D thuộc đường trung trực của OE)
DF = DO (D thuộc đường trung trực của OF)
Mà: OE = OF (giả thiết)
Từ (1) và (2), ta được: OD là đường trung trực của EF.
Biên soạn: PHẠM NGỌC DIỆU (Trường THCS - THPT Nguyễn Khuyến BD)