Table of Contents
Trong các chuyên đề trước, các em đã được tìm hiểu về các công thức lượng giác cơ bản và giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt cùng với các công thức lượng giác như công thức cộng, công thức nhân đôi, nhân ba. Ở bài viết này, chúng ta sẽ được giới thiệu chi tiết về công thức lượng giác cũng rất quan trọng, đó là: Công thức biến đổi tích thành tổng.
1. Công thức biến đổi tích thành tổng
Sau đây là một số công thức lượng giác biến đổi tích thành tổng:
Chứng minh các công thức trên:
Ta sẽ áp dụng các công thức cộng đã học để chứng minh các công thức lượng giác biến đổi tích thành tổng.
+ Chứng minh công thức biến đổi tích thành tổng thứ nhất:
Ta sử dụng các công thức cộng sau đây:
cos (a + b) = cos a . cos b – sin a . sin b;
cos (a – b) = cos a . cos b + sin a . sin b.
Cộng cả hai vế của hai công thức cộng trên với nhau ta được:
cos (a + b) + cos (a – b) = cos a . cos b – sin a . sin b + cos a . cos b + sin a . sin b,
hay cos (a + b) + cos (a – b) = 2 cos a . cos b.
Suy ra
+ Chứng minh công thức biến đổi tích thành tổng thứ hai:
Ta sử dụng các công thức cộng sau đây:
cos (a + b) = cos a . cos b – sin a . sin b; (1)
cos (a – b) = cos a . cos b + sin a . sin b. (2)
Trừ cả hai vế của công thức (1) cho công thức (2) ta được:
cos (a + b) – cos (a – b) = cos a . cos b – sin a . sin b – (cos a . cos b + sin a . sin b),
hay cos (a + b) – cos (a – b) = cos a . cos b – sin a . sin b – cos a . cos b – sin a . sin b
= – 2 sin a . sin b.
Suy ra
+ Chứng minh công thức biến đổi tích thành tổng thứ ba:
Ta sử dụng các công thức cộng sau đây:
sin (a + b) = sin a . cos b + cos a . sin b;
sin (a – b) = sin a . cos b – cos a . sin b.
Cộng hai vế của hai công thức cộng trên với nhau ta được:
sin (a + b) + sin (a – b) = sin a . cos b + cos a . sin b + sin a . cos b – cos a . sin b,
hay sin (a + b) + sin (a – b) = 2 sin a . cos b.
Suy ra
Vậy ta đã chứng minh được các công thức biến đổi tích thành tổng.
Xem thêm: Công thức biến đổi tổng thành tích & bài tập ứng dụng cực hay
2. Các dạng bài tập về công thức biến đổi tích thành tổng lớp 10
2.1. Dạng 1: Biến đổi biểu thức tích thành tổng
*Phương pháp giải:
Muốn biến đổi từ tích thành tổng các biểu thức nào đó, ta áp dụng các công thức biến đổi tích thành tổng đã học để biến đổi chúng.
Bài tập vận dụng:
Bài 1. Em hãy biến đổi các biểu thức sau từ tích thành tổng:
a) 2 cos (u – v).sin (u + v);
b) 2 cos (u + v). cos (u – v).
ĐÁP ÁN
a) Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng thứ ba
2 cos (u – v).sin (u + v) = 2 sin (u + v). cos (u – v)
= sin [(u + v) + (u – v)] + sin [(u + v) – (u – v)]
= sin 2u + sin 2v.
Vậy 2 cos (u – v).sin (u + v) = sin 2u + sin 2v.
b) 2 cos (u + v). cos (u – v).
Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng thứ nhất
2 cos (u + v). cos (u – v) = cos [(u + v) + (u – v)] + cos [(u + v) – (u – v)]
= cos 2u + cos 2v.
Vậy 2 cos (u + v). cos (u – v) = cos 2u + cos 2v.
Bài 2. Em hãy biến đổi biểu thức sau từ tích thành tổng: 8 sin 3y.sin 2y.sin y.
ĐÁP ÁN
Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng thứ hai
8 sin 3y.sin 2y.sin y = 4 sin 3y . 2 sin 2y.sin y
= – 4 sin 3y . [cos (2y + y) – cos (2y – y)]
= – 4 sin 3y . (cos 3y – cos y)
= – 4 sin 3y . cos 3y + 4 sin 3y . cos y.
Tiếp tục sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng thứ ba
8 sin 3y.sin 2y.sin y = – 4 sin 3y . cos 3y + 4 sin 3y . cos y
= – 2 sin (3y + 3y) + 2 sin (3y – 3y) + 2 sin (3y + y) + 2 sin (3y – y)
= – 2 sin 6y + 2 sin 4y + 2 sin 2y.
Vậy 8 sin 3y.sin 2y.sin y = – 2 sin 6y + 2 sin 4y + 2 sin 2y.
2.2. Dạng 2: Bài toán tính giá trị của biểu thức
*Phương pháp giải:
Muốn tính giá trị của biểu thức, ta áp dụng các công thức biến đổi tích thành tổng đã học để biến đổi chúng rồi tính.
Bài tập vận dụng:
Bài 3. Em hãy tính giá trị của biểu thức sau:
ĐÁP ÁN
Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng thứ ba
Bài 4. Cho góc u và góc v là hai góc nhọn, biết
ĐÁP ÁN
Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng thứ nhất, ta có:
2 cos (u + v). cos (u – v) = cos [(u + v) + (u – v)] + cos [(u + v) – (u – v)]
= cos 2u + cos 2v
= 2.cos2u + 2.cos2v - 2
Với
2 cos (u + v). cos (u – v) =
2.3. Dạng 3: Bài toán chứng minh đẳng thức
*Phương pháp giải:
Muốn tính chứng minh đẳng thức, ta áp dụng các công thức biến đổi tích thành tổng đã học để biến đổi chúng về một đẳng thức luôn đúng.
Bài tập vận dụng:
Bài 5. Em hãy sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng để chứng minh đẳng thức sau đây:
ĐÁP ÁN
Ta đi chứng minh vế trái của đẳng thức cần chứng minh bằng vế phải của đẳng thức cần chứng minh.
Ta biến đổi vế trái bằng cách sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng như sau:
VT =
= VP. (đpcm)
Bài 6. Em hãy sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng để chứng minh đẳng thức sau đây:
ĐÁP ÁN
Ta thấy vế trái của đẳng thức cần chứng minh có thể sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng, khi đó ta sẽ đi chứng minh vế trái của đẳng thức cần chứng minh bằng vế phải của đẳng thức cần chứng minh.
Ta sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng thứ hai để biến đổi vế trái như sau:
VT =
=
Bài viết này đã giới thiệu tới các em công thức biến đổi tích thành tổng cùng với các dạng bài tập vận dụng công thức tích thành tổng kèm lời giải chi tiết. Hy vọng qua đó các em ghi nhớ được các công thức và thành thạo làm các bài tập vận dụng.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang