Đường tròn lượng giác là gì? Khái niệm & bài tập vận dụng

Ở bài viết trước các bạn đã tìm hiểu về cung và góc lượng giác cũng như cách xác định cung lượng giác trên đường tròn định hướng. Vậy đường tròn lượng giác có khác gì so với đường tròn định hướng? Cách xác định cung lượng giác trên đường tròn lượng giác có giống với trên đường tròn định hướng không? Bài viết hôm nay sẽ giới thiệu đến các bạn đường tròn lượng giác và cách biểu diễn cung lượng giác cho trước trên đường tròn lượng giác. Các bạn cùng theo dõi nhé!

1. Nhắc lại đường tròn định hướng

Như ở bài viết trước chúng ta đã biết đường tròn định hướng là đường tròn mà trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương và chiều ngược lại là chiều âm.

Theo quy ước chiều dương là chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ. Và chiều ngược lại là chiều âm.

2. Đường tròn lượng giác là gì?

Định nghĩa đường tròn lượng giác (gốc A): là đường tròn định hướng được xác định trên mặt phẳng tọa độ Oxy có tâm là O và bán kính R = 1.

Đường tròn này cắt trục Ox tại A (1; 0), A' (-1; 0) và cắt trục Oy tại B(0; 1) và B' (0; -1). Người ta quy ước lấy điểm A (1; 0) làm điểm gốc của đường tròn đó.

Theo quy ước: Chiều dương là chiều từ A và quay ngược chiều kim đồng hồ. Ngược lại, chiều từ A và quay cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm.

3. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác

- Khi biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác thì điểm A luôn là điểm đầu của tất cả các cung trên đường tròn lượng giác. Như vậy để biểu diễn cung lượng giác có số đo α trên đường tròn lượng giác thì điểm A là điểm đầu, ta cần tìm điểm cuối M của cung này sao cho: . Khi đó: sđ = sđ .

- Đối với các cung lượng giác có cùng điểm đầu A và điểm cuối M thì số đo cung lượng giác của chúng hơn kém nhau một bội của 2π. Và được viết là: sđ .

- Dựa vào tính chất này ta có một số điểm biểu diễn đặc biệt sau:

Xét từ A và theo chiều dương:

+ Khi điểm đầu và điểm cuối trùng nhau (M ≡ A) ta có: sđ . Như vậy điểm A là điểm đầu và điểm cuối của các cung lượng giác có số đo là: . Chẳng hạn các cung có số đo: 0; 2π; 4π; ... 

+ Ta có sđ . Như vậy điểm B là điểm cuối của các cung lượng giác có số đo là: .

Chẳng hạn các cung có số đo: ...

+ Ta có sđ . Như vậy điểm A' là điểm cuối của các cung lượng giác có số đo là: .

Chẳng hạn các cung có số đo: π; 3π; 5π; ...

+ Ta có sđ . Như vậy điểm B' là điểm cuối của các cung lượng giác có số đo là: .

Chẳng hạn các cung có số đo: ...

Xét từ A và theo chiều âm:

+ Khi điểm đầu và điểm cuối trùng nhau (M ≡ A) ta có: sđ . Như vậy điểm A là điểm đầu và điểm cuối của các cung lượng giác có số đo là: .Chẳng hạn các cung có số đo: 0; - 2π; - 4π; ... 

+ Ta có sđ . Như vậy điểm B' là điểm cuối của các cung lượng giác có số đo là: .

Chẳng hạn các cung có số đo: ...

+ Ta có sđ . Như vậy điểm A' là điểm cuối của các cung lượng giác có số đo là: .

Chẳng hạn các cung có số đo: - π; - 3π; - 5π; ...

+ Ta có sđ . Như vậy điểm B là điểm cuối của các cung lượng giác có số đo là: .

Chẳng hạn các cung có số đo: ...

Ta cũng làm tương tự đối với các số đo cung được tính bằng độ, công thức tổng quát của các cung lượng giác có số đo bằng độ là: sđ .

Ví dụ: Trên đường tròn lượng giác hãy xác định các điểm M và N sao cho: sđ và sđ .

Ta có: . Do đó điểm M trùng với điểm biểu diễn của cung . Để tìm điểm biểu diễn của cung , ta chia cung nhỏ AB (có sđ ) thành hai phần bằng nhau. Vậy điểm M là điểm chính giữa cung của nhỏ AB.

Ta có: - 405° = -45° + (- 1) . 360°. Do đó điểm N trùng với điểm biểu diễn của cung -45°. Để tìm điểm biểu diễn của cung - 45°, theo chiều âm ta chia cung nhỏ AB' (có sđ ) thành hai phần bằng nhau. Vậy điểm N là điểm chính giữa của cung nhỏ AB'.

Lưu ý: Để tính số điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung lượng giác số đo cung cho trước, ta viết số đo cung lượng giác đó dưới dạng: (nếu tính số đo bằng độ thì ta viết về dạng ). Khi đó m chính là số điểm biểu diễn cung lượng giác đó.

4. Bài tập đường tròn lượng giác lớp 10

Câu 1: Chọn câu sai?

A. Đường tròn lượng giác là đường tròn định hướng trên mặt phẳng tọa độ Oxy có tâm là O và bán kính R = 1.

B. Chiều dương của đường tròn lượng giác luôn ngược chiều quay của kim đồng hồ.

C. Khi biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác không có cung lượng giác nào có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.

D. Trên đường tròn lượng giác các cung có điểm biểu diễn trùng nhau là các cung có số đo cung hơn kém nhau một bội của 2π.

Câu 2. Trên đường tròn lượng giác, hai cung lượng giác có điểm cuối trùng nhau có số đo là:

A. và .

B. và .

C. và .

D. và .

Câu 3. Có bao nhiêu điểm biểu diễn cung lượng giác số đo cung với .

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 4. Trên đường tròn lượng giác hãy biểu diễn các cung lượng giác có số đo sau:

a)

b)

Câu 5. Trên đường tròn lượng giác có bao nhiêu điểm biểu diễn cung lượng giác có số đo với . Đó là những điểm nào?

Như vậy việc xác định điểm biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác là vô cùng quan trọng. Đây là kiến thức cơ bản giúp ta giải nhanh các bài tập xác định giá trị lượng giác của một cung ở bài sau. Mong rằng bài viết này có thể giúp các bạn hiểu rõ hơn về khái niệm đường tròn lượng giác và cách biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang