Table of Contents
Ở những bài học trước, các bạn học sinh đã được tìm hiểu về các khái niệm góc và cung lượng giác, cũng như một số công thức lượng giác. Trong bài học này, chúng ta sẽ tìm hiểu về một công thức không kém phần quan trọng: Công thức biến tổng thành tích.
1. Công thức biến đổi tổng thành tích
Ta có bốn công thức lượng giác tổng thành tích như sau:
Ta có thể chứng minh các công thức tổng thành tích bằng cách sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng đã học.
Chẳng hạn đối với công thức đầu tiên, ta chứng minh như sau:
Ta có:
Đặt:
Cộng, trừ hai phương trình trên, ta được:
Thay vào công thức tích thành tổng:
Vậy là ta có được công thức tổng thành tích thứ nhất, tương tự cho các công thức tổng thành tích còn lại.
Mẹo ghi nhớ: Từ bốn công thức trên, ta có cách ghi nhớ đơn giản hơn như sau
Cos cộng cos bằng hai cos cos.
Cos trừ cos bằng trừ hai sin sin.
Sin cộng sin bằng hai sin cos.
Sin trừ sin bằng hai cos sin.
Xem thêm: Công thức biến đổi tích thành tổng & một số bài tập vận dụng hay
2. Một số ví dụ công thức tổng thành tích
Cùng xem một số ví dụ để hiểu rõ hơn về cách áp dụng công thức tổng thành tích.
Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức
Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích thứ nhất: cos cộng cos bằng hai cos cos, ta được
Vậy giá trị của biểu thức là
Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức
Trước tiên, ta biến đổi biểu thức như sau:
Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích: cos trừ cos bằng trừ hai sin sin, ta được
Vậy giá trị của biểu thức là
Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức
Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích: sin cộng sin bằng hai sin cos, ta được
Vậy giá trị của biểu thức là
Ví dụ 4: Tính giá trị biểu thức
Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích: sin trừ sin bằng hai cos sin, ta được
Vậy giá trị của biểu thức là
Ví dụ 5: Tính giá trị biểu thức
Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích: sin cộng sin bằng hai sin cos, ta được
Vậy giá trị của biểu thức là
Ví dụ 6: Tính giá trị biểu thức
Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích: sin trừ sin bằng hai cos sin, ta được
Vậy giá trị của biểu thức là
Ví dụ 7: Tính giá trị biểu thức
Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích: cos trừ cos bằng trừ hai sin sin, ta được
Vậy giá trị của biểu thức là
Ví dụ 8: Tính giá trị biểu thức
Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích: cos trừ cos bằng hai cos cos, ta được
Vậy giá trị của biểu thức là
3. Bài tập ứng dụng công thức biến đổi tổng thành tích lớp 10
Bài 1: Áp dụng các công thức biến đổi tổng thành tích vừa học để tính giá trị các biểu thức sau
a.
b.
c.
d.
ĐÁP ÁN
a.
Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích: sin cộng sin bằng hai sin cos, ta được
Vậy giá trị của biểu thức là
b.
Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích: sin trừ sin bằng hai cos sin, ta được
Vậy giá trị của biểu thức là
c.
Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích: cos trừ cos bằng trừ hai sin sin, ta được
Vậy giá trị của biểu thức là
d.
Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích: cos cộng cos bằng hai cos cos, ta được
Vậy giá trị của biểu thức là
Bài 2: Áp dụng các công thức biến đổi tổng thành tích vừa học để tính giá trị các biểu thức sau
a.
b.
c.
d.
ĐÁP ÁN
a.
Trước tiên, ta biến đổi biểu thức như sau:
Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích: cos cộng cos bằng hai cos cos, ta được
Vậy giá trị của biểu thức là
b.
Trước tiên, ta biến đổi biểu thức như sau:
Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích: cos trừ cos bằng trừ hai sin sin, ta được
Vậy giá trị của biểu thức là
c.
Trước tiên, ta biến đổi biểu thức như sau:
Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích: sin cộng sin bằng hai sin cos, ta được
Vậy giá trị của biểu thức là
d.
Trước tiên, ta biến đổi biểu thức như sau:
Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích: sin trừ sin bằng hai cos sin, ta được
Vậy giá trị của biểu thức là
Bài 3: Chứng minh các đẳng thức sau bằng cách áp dụng các công thức biến đổi tổng thành tích vừa học
a.
b.
ĐÁP ÁN
a.
Muốn chứng minh đẳng thức, ta biến đổi sao cho vế trái (VT) bằng vế phải (VP) hoặc ngược lại. Ở đây ta thấy vế trái (VT) có thể dùng công thức tổng thành tích nên ta chọn biến đổi vế trái (VT).
Trước tiên, ta biến đổi vế trái (VT) như sau:
Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích: cos cộng cos bằng hai cos cos, ta được
Vậy ta đã chứng minh được đẳng thức trên.
b.
Muốn chứng minh đẳng thức, ta biến đổi sao cho vế trái (VT) bằng vế phải (VP) hoặc ngược lại. Ở đây ta thấy vế trái (VT) có thể dùng công thức tổng thành tích nên ta chọn biến đổi vế trái (VT).
Trước tiên, ta biến đổi vế trái (VT) như sau:
Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích: sin cộng sin bằng hai sin cos, ta được
Vậy ta đã chứng minh được đẳng thức.
Bài 4: Chứng minh các đẳng thức sau bằng cách áp dụng các công thức biến đổi tổng thành tích vừa học
a.
b.
ĐÁP ÁN
a.
Muốn chứng minh đẳng thức, ta biến đổi sao cho vế trái (VT) bằng vế phải (VP) hoặc ngược lại. Ở đây ta thấy vế trái (VT) có thể dùng công thức tổng thành tích nên ta chọn biến đổi vế trái (VT).
Trước tiên, ta biến đổi vế trái (VT) như sau:
Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích: sin trừ sin bằng hai cos sin, ta được
Vậy ta đã chứng minh được đẳng thức.
b.
Muốn chứng minh đẳng thức, ta biến đổi sao cho vế trái (VT) bằng vế phải (VP) hoặc ngược lại. Ở đây ta thấy vế trái (VT) có thể dùng công thức tổng thành tích nên ta chọn biến đổi vế trái (VT).
Trước tiên, ta biến đổi vế trái (VT) như sau:
Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích: cos trừ cos bằng trừ hai sin sin, ta được
Vậy ta đã chứng minh được đẳng thức.
Bài 5: Chứng minh công thức tổng thành tích thứ hai
ĐÁP ÁN
Ta có thể chứng minh các công thức tổng thành tích bằng cách sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng đã học.
Ta có:
Đặt:
Cộng, trừ hai phương trình trên, ta được:
Thay vào công thức tích thành tổng:
Vậy là ta có được công thức tổng thành tích.
Vậy là chúng ta vừa tìm hiểu xong về công thức tổng thành tích. Hy vọng qua bài học này, các bạn học sinh có thể áp dụng công thức tổng thành tích vào giải toán lượng giác nói riêng và các bài toán khác nói chung một cách dễ dàng.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang